试题

如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以

2

的长为半径作⊙O交x轴于P、Q两点，交y轴于G、H两点，△ABC内接于⊙O，且BC∥x轴交y轴于D，∠BAC=45°（如图1）．
（1）求C点坐标；
（2）若点A在x轴上方的半圆上运动（不与G重合），且CA的延长线交y轴于M，AB交y轴于N（如图2），当A点运动时，ON·OM的值是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出其值；
（3）若点A在⊙O上运动（不与B、C重合），是否存在点A，使△ABC为等腰三角形？若存在，请求出A点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵∠BOC=2∠BAC=90°，
即△BOC是等腰直角三角形，CO=

2

，
∴C点坐标为（

2

sin45°，-

2

cos45°），
即（1，-1）；

（2）当A位于y正半轴与圆的交点时，ON=OM=

2

，ON·OM=2；
A位于x负半轴与圆的交点时，
∴ON=

2

，OM=

1

2

MC=OC= 

2

，
∴ON·OM=2．
当A点运动时，ON·OM的值不发生变化，ON·OM=2．

（3）当AB=AC时，圆与y轴的交点即A的可能取值，
故A（0，

2

）或（0，- 

2

）；
当AB=BC时，A与C关于原点对称，此时A（-1，1）；
当BC=AC时，A与C关于x轴对称，此时A（1，1）．
解：（1）∵∠BOC=2∠BAC=90°，
即△BOC是等腰直角三角形，CO=

2

，
∴C点坐标为（

2

sin45°，-

2

cos45°），
即（1，-1）；

（2）当A位于y正半轴与圆的交点时，ON=OM=

2

，ON·OM=2；
A位于x负半轴与圆的交点时，
∴ON=

2

，OM=

1

2

MC=OC= 

2

，
∴ON·OM=2．
当A点运动时，ON·OM的值不发生变化，ON·OM=2．

（3）当AB=AC时，圆与y轴的交点即A的可能取值，
故A（0，

2

）或（0，- 

2

）；
当AB=BC时，A与C关于原点对称，此时A（-1，1）；
当BC=AC时，A与C关于x轴对称，此时A（1，1）．