试题

已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点．
（1）如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长；
（2）若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BM=a，CM=b（其中b＞a），直接写出AM的长（用含有a，b的代数式表示）．

（1）解：延长MB至点E，使BE=MC，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵四边形ABMC是⊙O的内接四边形，
∴∠ABE=∠ACM，
在△AEB和△AMC中

AB=AC ∠ABE=∠ACM BE=CM

，
∴△AEB≌△AMC，
∴∠AEB=∠AMC，
∵∠AMC=∠ABC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠AEB=∠ABC，
∵∠AME=∠ACB（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEB=∠AME=60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM=ME=MB+BE，
∵BE=MC，
∴MB+MC=MA=1+2=3．
即AM的长是3．

（2）解：分为两种情况：①如图，AM=

a+b

2

=

2

2

（a+b），
理由是：延长MB至点E，使BE=MC，连AE，
由（1）知：∠ABE=∠ACM，
在△ABE和△ACM中

AB=AC ∠ABE=∠ACM BE=CM

，
∴△ABE≌△ACM，
∴AM=AE，∠E=∠AMC，
∵∠AMC=∠ABC=45°，∠AMB=∠ACB=45°，
∴∠E=∠AMB=45°，
∴∠EAM=90°，
在△EAM中，ME=MB+BE=MB+CM=a+b，AE=AM，
由勾股定理得：AM=

EM

2

=

2

2

（a+b），
即AM=

a+b

2

=

2

2

（a+b）．
②如图，
在CM上截取CN=BM，连接AN，
∵∠ABM所对的弧和∠ACN所对的弧都是弧AM，
∴∠ABM=∠ACN，
在△ABM和△ACN中

AB=AC ∠ABM=∠ACN BM=CN

，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠CAN，
∵∠BAC=∠BAN+∠CAN=90°，
∴∠BAN+∠BAM=90°，
∴∠MAN=90°，
则△MAN是等腰直角三角形，
∵MN=CM-CN=CM-BM=b-a，
由勾股定理得：AM=AN=

b-a

2

=

2

2

（b-a），
即AM=

2

2

（b-a）．
即AM的长是

2

2

（a+b）或

2

2

（b-a）．
（1）解：延长MB至点E，使BE=MC，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵四边形ABMC是⊙O的内接四边形，
∴∠ABE=∠ACM，
在△AEB和△AMC中

AB=AC ∠ABE=∠ACM BE=CM

，
∴△AEB≌△AMC，
∴∠AEB=∠AMC，
∵∠AMC=∠ABC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠AEB=∠ABC，
∵∠AME=∠ACB（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEB=∠AME=60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM=ME=MB+BE，
∵BE=MC，
∴MB+MC=MA=1+2=3．
即AM的长是3．

（2）解：分为两种情况：①如图，AM=

a+b

2

=

2

2

（a+b），
理由是：延长MB至点E，使BE=MC，连AE，
由（1）知：∠ABE=∠ACM，
在△ABE和△ACM中

AB=AC ∠ABE=∠ACM BE=CM

，
∴△ABE≌△ACM，
∴AM=AE，∠E=∠AMC，
∵∠AMC=∠ABC=45°，∠AMB=∠ACB=45°，
∴∠E=∠AMB=45°，
∴∠EAM=90°，
在△EAM中，ME=MB+BE=MB+CM=a+b，AE=AM，
由勾股定理得：AM=

EM

2

=

2

2

（a+b），
即AM=

a+b

2

=

2

2

（a+b）．
②如图，
在CM上截取CN=BM，连接AN，
∵∠ABM所对的弧和∠ACN所对的弧都是弧AM，
∴∠ABM=∠ACN，
在△ABM和△ACN中

AB=AC ∠ABM=∠ACN BM=CN

，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠CAN，
∵∠BAC=∠BAN+∠CAN=90°，
∴∠BAN+∠BAM=90°，
∴∠MAN=90°，
则△MAN是等腰直角三角形，
∵MN=CM-CN=CM-BM=b-a，
由勾股定理得：AM=AN=

b-a

2

=

2

2

（b-a），
即AM=

2

2

（b-a）．
即AM的长是

2

2

（a+b）或

2

2

（b-a）．