试题

在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程x2+mx+2-

1

2

m=0的两个实数根．
（1）求△ABC的周长．
（2）求△ABC的三边均为整数时的外接圆半径．

解：（1）若b、c中有一边等于3，
则方程可化为9+3m+2-

1

2

m=0，
解得m=-

22

5

；
原方程可化为x2-

22

5

x+

21

5

=0，
解得x₁=3，x₂=

7

5

，
所以三角形的周长为3+3+

7

5

=7

2

5

；
若b=c，则△=m2-4(2-

1

2

m)=0，
解得m=-4或2，
当m=-4时，方程为x²-4x+4=0，得x₁=x₂=2，
所以三角形的周长为2+2+3=7；
当m=2时，方程为x²+2x+1=0，得x₁=x₂=-1；（不合题意，舍去）
综上可知△ABC的周长为7

2

5

或7．

（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D、交BC于E，连接BO，则有AE⊥BC．
∵△ABC的三边均为整数，
∴AB=AC=2，BC=3，
BE=

1

2

BC=

3

2

．AE=

AB2-BE2

=

4- 9 4

=

7

2

，
设AO=R，在Rt△BOE中，R²=（

3

2

）²+（

7

2

-R）²，
∴R=

4 7

7

，
∴△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为

4 7

7

．
解：（1）若b、c中有一边等于3，
则方程可化为9+3m+2-

1

2

m=0，
解得m=-

22

5

；
原方程可化为x2-

22

5

x+

21

5

=0，
解得x₁=3，x₂=

7

5

，
所以三角形的周长为3+3+

7

5

=7

2

5

；
若b=c，则△=m2-4(2-

1

2

m)=0，
解得m=-4或2，
当m=-4时，方程为x²-4x+4=0，得x₁=x₂=2，
所以三角形的周长为2+2+3=7；
当m=2时，方程为x²+2x+1=0，得x₁=x₂=-1；（不合题意，舍去）
综上可知△ABC的周长为7

2

5

或7．

（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D、交BC于E，连接BO，则有AE⊥BC．
∵△ABC的三边均为整数，
∴AB=AC=2，BC=3，
BE=

1

2

BC=

3

2

．AE=

AB2-BE2

=

4- 9 4

=

7

2

，
设AO=R，在Rt△BOE中，R²=（

3

2

）²+（

7

2

-R）²，
∴R=

4 7

7

，
∴△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为

4 7

7

．