试题

（2006·深圳模拟）已知：a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，a＞b，关于x的方程x²-2（a+b）x+2ab+c²=0有两相等的实数根，且sin∠A：sin∠B=4：3，若△ABC外接圆面积为25π，求△ABC的周长．

解：关于x的方程x²-2（a+b）x+2ab+c²=0有两相等的实数根，
∴方程的根的判别式为0，
即4（a+b）²-4（2ab+c²）=0，
整理得a²+b²=c²，
∴△ABC为直角三角形且∠C为直角．
又sin∠A：sin∠B=4：3，
可设a=4k，b=3k，c=5k；
因为Rt△ABC的斜边为外接圆直径，
∴π·(

5

2

k)2=25π，
解得k=2，
∴a=8，b=6，c=10；
即△ABC的周长为8+6+10=24．
解：关于x的方程x²-2（a+b）x+2ab+c²=0有两相等的实数根，
∴方程的根的判别式为0，
即4（a+b）²-4（2ab+c²）=0，
整理得a²+b²=c²，
∴△ABC为直角三角形且∠C为直角．
又sin∠A：sin∠B=4：3，
可设a=4k，b=3k，c=5k；
因为Rt△ABC的斜边为外接圆直径，
∴π·(

5

2

k)2=25π，
解得k=2，
∴a=8，b=6，c=10；
即△ABC的周长为8+6+10=24．