试题

如图，等腰三角形ABC中，P为底边BC上任意点，过P作两腰的平行线分别与AB，AC相交于Q，R两点，又P′是P关于直线RQ的对称点，证明：P′在△ABC的外接圆上．

证明：连接P'Q，P'A，QR，
∵QP∥AC，PR∥AB
∴四边形ARPQ为平行四边形
∴∠QAR=∠RPQ，
由对称关系得到，∠RPQ=∠RP'Q，
所以∠QAR=∠QP'R，
所以P'，A，R，Q四点共圆，
∴∠QP'R=∠BAC
同理得到∠QBP'=∠QP'B，∠RP'A=∠BAP'
∴可以得到∠AP'B+∠BCA=180度，所以ABCP'四点共圆，
∴P′在△ABC的外接圆上．
证明：连接P'Q，P'A，QR，
∵QP∥AC，PR∥AB
∴四边形ARPQ为平行四边形
∴∠QAR=∠RPQ，
由对称关系得到，∠RPQ=∠RP'Q，
所以∠QAR=∠QP'R，
所以P'，A，R，Q四点共圆，
∴∠QP'R=∠BAC
同理得到∠QBP'=∠QP'B，∠RP'A=∠BAP'
∴可以得到∠AP'B+∠BCA=180度，所以ABCP'四点共圆，
∴P′在△ABC的外接圆上．