试题

如图，△ABC为锐角三角形，△ABC内接于圆O，∠BAC=60°，H是△ABC的垂心，BD是⊙O的直径．
求证：AH=

1

2

BD．

证明：
连接AD，CD，CH，
∵BD是⊙O直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
又∠BAC=60°，
∴∠CAD=30°，∠DBC=∠CAD=30°，
在Rt△BCD中，CD=

1

2

BD，H是△ABC的垂心，AH⊥BC，CH⊥AB，
又DC⊥BC，DA⊥AB，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∵AH=CD，
∴AH=

1

2

BD．
证明：
连接AD，CD，CH，
∵BD是⊙O直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
又∠BAC=60°，
∴∠CAD=30°，∠DBC=∠CAD=30°，
在Rt△BCD中，CD=

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2

BD，H是△ABC的垂心，AH⊥BC，CH⊥AB，
又DC⊥BC，DA⊥AB，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∵AH=CD，
∴AH=

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BD．