试题

题目：
青果学院如图，正△ABC中，MN∥AC，
BM
AM
=
3
2
，D为AC上的一点，O为△BMN的外心，如果
S△AOD
S△ABC
=
1
5
，那么
AD
AC
为
1
3
1
3
．
答案
1
3

青果学院解：连BO交MN于F，交AC于E，如图，
∵△ABC为等边三角形，MN∥AC
∴△BMN为等边三角形，
而O为△BMN的外心，
∴BF⊥MN，BO：OF=2，
∴BE⊥AC，BO：BF=2：3①，
又∵MN∥AC，
∴BF：BE=MB：BA，
而MB：AM=3：2，即有BM：AB=3：5，
∴BF：BE=3：5②，
由①②得BO：BE=2：5，
∴OE：BE=3：5，
而S△OAD=
1
2
AD·OE，S△ABC=
1
2
AC·BE，
∵S△OAD：△ABC=1：5，
∴
AD·OE
AC·BE
=
1
5
，
∴
AD
AC
=
1
3
．
故答案为
1
3
．
考点梳理
三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．
连BO交MN于F，交AC于E；由△ABC为等边三角形，MN∥AC得△BMN为等边三角形，而O为△BMN的外心，根据等边三角形的性质得到BF⊥MN，且O为△BMN的内心，则BO：OF=2，易得BE⊥AC，BO：BF=2：3①；再利用平行线分线段成比例定理得BF：BE=MB：BA=3：5，利用比例性质得BF：BE=3：5②，由①②得BO：BE=2：5，则OE：BE=3：5，然后根据三角形的面积公式和S△OAD：△ABC=1：5即可计算出AD与AC的比．
本题考查了三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．也考查了等边三角形的性质、平行线分线段成比例定理以及比例的性质．
计算题．
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