试题

题目：
如图1，在·ABCD中，AD=a，AB=
3
a，a为定值，线段AD绕着点A旋转，旋转时∠DAB为锐角，经过A、D、B三点的圆⊙O和边CD相交于点F，点F不与点D重合．
（1）求∠DAB的范围；
（2）如果AD旋转到使得AB刚好成为⊙O的直径（如图2所示），请你验证此时∠DAB的度数在第（1）问所求的范围内，并证明：此时点F恰好是DC的一个三等分点．
青果学院
答案
（1）解：连接DB，
当F与D重合时，此时CD与圆相切．
∴∠CDB=∠DAB，
∵平行四边形ABCD，
∴CD∥AB，
∴∠CDB=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴△ADB是等腰三角形，底为根号
3
a，腰为a
∴cos∠DAB=
3
a
2
a
=
3
2
，
∴∠DAB=30°，
即∠DAB的范围为：30°＜∠DAB＜90°．

（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴⊙O的半径r=
1
2
AB=
3
2
a
∵∠ADB=90°，
∴cos∠DAB=
AD
AB
=
1
3
=
3
3
＜
3
2
，青果学院
∴∠DAB在30°＜∠DAB＜90°的范围内．
∵DF=AB=2AE=AB-2ADcos∠DAB=
3
a-2a×
3
3
=
3
3
a=
1
3
AB=
1
3
CD，
∴此时点F恰好是DC的一个三等份点．
（1）解：连接DB，
当F与D重合时，此时CD与圆相切．
∴∠CDB=∠DAB，
∵平行四边形ABCD，
∴CD∥AB，
∴∠CDB=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴△ADB是等腰三角形，底为根号
3
a，腰为a
∴cos∠DAB=
3
a
2
a
=
3
2
，
∴∠DAB=30°，
即∠DAB的范围为：30°＜∠DAB＜90°．

（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴⊙O的半径r=
1
2
AB=
3
2
a
∵∠ADB=90°，
∴cos∠DAB=
AD
AB
=
1
3
=
3
3
＜
3
2
，青果学院
∴∠DAB在30°＜∠DAB＜90°的范围内．
∵DF=AB=2AE=AB-2ADcos∠DAB=
3
a-2a×
3
3
=
3
3
a=
1
3
AB=
1
3
CD，
∴此时点F恰好是DC的一个三等份点．
考点梳理
等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；圆心角、弧、弦的关系．
（1）连接DB，当F与D重合时，即CD与圆相切，根据平行四边形的性质推出∠DAB=∠DBA，求出等腰三角形DAB，求出∠DAB的度数即可；
（2）求出cos∠DAB的值，即可推出∠DAB的大小；根据CD和CF的长，根据DF=CD-CF，代入求出即可．
本题综合考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，圆心角、弧、弦之间的关系，平行线的性质等知识点，此题综合性比较强，对学生有较高的要求．
计算题．
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