试题

题目：
青果学院如图，若
AC
=
CD
，PAB、PCD是⊙O的两条割线，PAB过圆心O，∠P=30°，则∠BDC=
110°
110°
．
答案
110°

解：青果学院连接OC、OD、AC，
∵弧AC=弧CD，
∴AC=CD，
在△AOC和△DOC中，
OA=OD
AC=CD
OC=OC
，
∴△AOC≌△DOC（SSS），
∴∠ODC=∠OAC，∠OCD=∠OCA，∠AOC=∠DOC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ODC=∠OAC=∠OCD=∠OCA，
设∠ODC=∠OAC=∠OCD=∠OCA=x°，
在△ACP中，∠P+∠PCA+∠PAC=180°，
∴30°+180°-2x°+180°-x°=180°，
解得：x=70，
∴∠ODC=∠OAC=∠OCD=∠OCA=70°，
∴∠COD=∠AOC=180°-70°-70°=40°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵∠B+∠ODB=∠AOC+∠COD=40°+40°，
∴∠ODB=40°，
∴∠BDC=40°+70°=110°，
故答案为：110°．
考点梳理
圆心角、弧、弦的关系；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
连接OC、OD、AC，证△AOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OAC，∠OCD=∠OCA，∠AOC=∠DOC，在△APC中根据三角形内角和定理求出∠OAC，求出∠AOC，求出∠B=∠ODB=40°，代入∠BDC=∠BDO+∠ODC求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，关键是求出∠AOC的度数．
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