试题

题目：
设x、y为实数，且x2+xy+y2=3，求x2-xy+y2的最大值和最小值．
答案
解：设x2-xy+y2=M①，x2+xy+y2=3②，
由①、②可得：
xy=
3-M
2
，x+y=±
9-M
2
，
所以x、y是方程t2±
9-M
2
t+
3-M
2
=0的两个实数根，
因此△≥0，且
9-M
2
≥0，
即（±
9-M
2
）2-4·
3-M
2
≥0且9-M≥0，
解得1≤M≤9；
即x2-xy+y2的最大值为9，最小值为1．
解：设x2-xy+y2=M①，x2+xy+y2=3②，
由①、②可得：
xy=
3-M
2
，x+y=±
9-M
2
，
所以x、y是方程t2±
9-M
2
t+
3-M
2
=0的两个实数根，
因此△≥0，且
9-M
2
≥0，
即（±
9-M
2
）2-4·
3-M
2
≥0且9-M≥0，
解得1≤M≤9；
即x2-xy+y2的最大值为9，最小值为1．
考点梳理
一元二次方程的应用．
抓住两个式子的特点，巧用根与系数的关系设出方程，进一步利用根的判别式解答即可．
此题主要考查根与系数的关系及根的判别式．
计算题．
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