试题

已知：关于x的方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0．
（1）当a取何值时，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0有两个不相等的实数根；
（2）当整数a取何值时，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是正整数．

解：（1）∵方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0有两个不相等的实数根，
∴

a-1≠0 △＞0

，
即

a≠1 △=[-(a+1)]2-4(a-1)·2＞0

，
∴a≠1且a≠3．

（2）①当a-1=0时，即a=1时，原方程变为-2x+2=0．
方程的解为 x=1；                            
②当a-1≠0时，原方程为一元二次方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0．
△=b²-4ac=[-（a+1）]²-4（a-1）·2=（a-3）²≥0．
x=

(a+1)±(a-3)

2(a-1)

，解得x₁=1，x₂=

2

a-1

．
∵方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0都是正整数根．
∴只需

2

a-1

为正整数．
∴当a-1=1时，即a=2时，x₂=2；
当a-1=2时，即a=3时，x₂=1；   
∴a取1，2，3时，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是正整数．
解：（1）∵方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0有两个不相等的实数根，
∴

a-1≠0 △＞0

，
即

a≠1 △=[-(a+1)]2-4(a-1)·2＞0

，
∴a≠1且a≠3．

（2）①当a-1=0时，即a=1时，原方程变为-2x+2=0．
方程的解为 x=1；                            
②当a-1≠0时，原方程为一元二次方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0．
△=b²-4ac=[-（a+1）]²-4（a-1）·2=（a-3）²≥0．
x=

(a+1)±(a-3)

2(a-1)

，解得x₁=1，x₂=

2

a-1

．
∵方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0都是正整数根．
∴只需

2

a-1

为正整数．
∴当a-1=1时，即a=2时，x₂=2；
当a-1=2时，即a=3时，x₂=1；   
∴a取1，2，3时，方程（a-1）x²-（a+1）x+2=0的根都是正整数．