试题
题目：
已知a、b、c为整数，且满足3+a
2
+b
2
+c
2
＜ab+3b+2c，求
(
1
a
+
1
b
+
1
c
)
abc
的值．
答案
解：由a、b、c均为整数，a
2
+b
2
+c
2
+3＜ab+3b+2c，得
a
2
+b
2
+c
2
+3≤ab+3b+2c-1
∴4a
2
+4b
2
+4c
2
+12≤4ab+12b+8c-4
（4a
2
-4ab+b
2
）+（3b
2
-12b+12）+（4c
2
-8c+4）≤0
（2a-b）
2
+3（b
2
-4b+4）+4（c
2
-2c+1）≤0
（2a-b）
2
+3（b-2）
2
+4（c-1）
2
≤0
∴2a-b=0，b-2=0，c-1=0，
解得 a=1，b=2，c=1，
∴
(
1
a
+
1
b
+
1
c
)
abc
=
25
4
．
解：由a、b、c均为整数，a
2
+b
2
+c
2
+3＜ab+3b+2c，得
a
2
+b
2
+c
2
+3≤ab+3b+2c-1
∴4a
2
+4b
2
+4c
2
+12≤4ab+12b+8c-4
（4a
2
-4ab+b
2
）+（3b
2
-12b+12）+（4c
2
-8c+4）≤0
（2a-b）
2
+3（b
2
-4b+4）+4（c
2
-2c+1）≤0
（2a-b）
2
+3（b-2）
2
+4（c-1）
2
≤0
∴2a-b=0，b-2=0，c-1=0，
解得 a=1，b=2，c=1，
∴
(
1
a
+
1
b
+
1
c
)
abc
=
25
4
．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
配方法的应用；非负数的性质：偶次方；代数式求值．
由a、b、c为整数，可得应把所给不等式的右边减1，整理为用“≤”表示的形式，进而把得到的不等式整理为一边为0的形式，把另一边整理3个不含分数的完全平方式子的和的形式，让底数为0可得a，b，c的值，进而代入代数式求解即可．
考查配方法的应用；把所给不等式利用“整数”思想整理为3个完全平方式的和是解决本题的难点．
计算题．
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