试题

阅读与证明：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如图①，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB=AC，这一结论可以说明如下：
解：过点A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△ACD中
∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴AB=AC
请你仿照上述方法在图②中再选一种方法说明以上结论．
操作：如图③，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，过点M、N作一组平行线分别与PQ交于点M′、N′，则线段MM′一定等腰NN′．想一想，为什么？
根据上述阅读与证明的结论以及操作得到的经验完成下列探究活动．探究：如图④，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并说明你的结论．

解：阅读与证明：如图②，作∠BAC的平分线AD，则∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，

∠BAD=∠CAD ∠B=∠C AD=AD

，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB=AC；

操作：如图③，∵MM′∥NN′，
∴∠M=∠N，
∵点O为线段MN的中点，
∴OM=ON，
在△MOM′和△NON′中，

∠M=∠N OM=ON ∠MOM′=∠NON′

，
∴△MOM′≌△NON′（ASA），
∴MM′=NN′；

探究：如图④，连接FE并延长交AB于G，
∵AB∥DC，
∴∠B=∠ECF，
∵E为BC边的中点，
∴BE=CE，
在△BEG和△CEF中，

∠B=∠ECF BE=CE ∠BEG=∠CEF

，
∴△BEG≌△CEF（ASA），
∴EF=EG，BG=CF，
延长AE到H，使AE=EH，
在△AEG和△HEF中，

AE=EH ∠AEH=∠HEF EF=EG

，
∴△AEG≌△HEF（SAS），
∴AG=HF，∠BAE=∠H，
∵∠BAE=∠EAF，
∴∠H=∠EAF，
∴AF=HF，
∴AG=AF，
∵AB=AG+BG，
∴AB=AF+CF．
解：阅读与证明：如图②，作∠BAC的平分线AD，则∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，

∠BAD=∠CAD ∠B=∠C AD=AD

，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB=AC；

操作：如图③，∵MM′∥NN′，
∴∠M=∠N，
∵点O为线段MN的中点，
∴OM=ON，
在△MOM′和△NON′中，

∠M=∠N OM=ON ∠MOM′=∠NON′

，
∴△MOM′≌△NON′（ASA），
∴MM′=NN′；

探究：如图④，连接FE并延长交AB于G，
∵AB∥DC，
∴∠B=∠ECF，
∵E为BC边的中点，
∴BE=CE，
在△BEG和△CEF中，

∠B=∠ECF BE=CE ∠BEG=∠CEF

，
∴△BEG≌△CEF（ASA），
∴EF=EG，BG=CF，
延长AE到H，使AE=EH，
在△AEG和△HEF中，

AE=EH ∠AEH=∠HEF EF=EG

，
∴△AEG≌△HEF（SAS），
∴AG=HF，∠BAE=∠H，
∵∠BAE=∠EAF，
∴∠H=∠EAF，
∴AF=HF，
∴AG=AF，
∵AB=AG+BG，
∴AB=AF+CF．