试题

如图，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP于D．
（1）求证：AB=AD+BC；
（2）若BE=3，AE=4，求四边形ABCD的面积．

（1）证明：延长AE交BC的延长线于M，
∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AD∥BC
∴∠1=∠M=∠2，∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∴BM=BA，∠3+∠2=90°，
∴BE⊥AM，
在△ABE和△MBE中，

∠3=∠4 BE=BE ∠AEB=∠MEB

∴△ABE≌△MBE
∴AE=ME，
在△ADE和△MCE中，

∠1=∠M AE=ME ∠5=∠6

；
∴△ADE≌△MCE，
∴AD=CM，
∴AB=BM=BC+AD．

（2）解：由（1）知：△ADE≌△MCE，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABM
又∵AE=ME=4，BE=3，
∴S△ABM=

1

2

×8×3=12，
∴S_{四边形ABCD}=12．
（1）证明：延长AE交BC的延长线于M，
∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AD∥BC
∴∠1=∠M=∠2，∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∴BM=BA，∠3+∠2=90°，
∴BE⊥AM，
在△ABE和△MBE中，

∠3=∠4 BE=BE ∠AEB=∠MEB

∴△ABE≌△MBE
∴AE=ME，
在△ADE和△MCE中，

∠1=∠M AE=ME ∠5=∠6

；
∴△ADE≌△MCE，
∴AD=CM，
∴AB=BM=BC+AD．

（2）解：由（1）知：△ADE≌△MCE，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABM
又∵AE=ME=4，BE=3，
∴S△ABM=

1

2

×8×3=12，
∴S_{四边形ABCD}=12．