试题

题目：
青果学院（2010·扶沟县一模）如图，在三角形ABC中，AC=BC，若将△ABC沿BC方向向右平移BC长的距离，得到△CEF，连接AE．试猜想，AE与CF有何位置上的关系？并对你的猜想给予证明．
答案
青果学院猜想：AE与CF互相垂直平分．
证明：∵△CEF是△ABC沿BC平移得到的，
∴AC∥EF，
∴∠CAD=∠FED，AC=EF，∠ADC=∠EDF，
∴△ACD≌△EFD，
∴CD=FD，AD=ED，
又∵CE=EF，
∴AE⊥CF，
∴AE与CF垂直且平分．
青果学院猜想：AE与CF互相垂直平分．
证明：∵△CEF是△ABC沿BC平移得到的，
∴AC∥EF，
∴∠CAD=∠FED，AC=EF，∠ADC=∠EDF，
∴△ACD≌△EFD，
∴CD=FD，AD=ED，
又∵CE=EF，
∴AE⊥CF，
∴AE与CF垂直且平分．
考点梳理
全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；平移的性质．
猜想：AE与CF互相垂直平分．由于△CEF是△ABC沿BC平移得到的，那么可知AC∥EF，于是∠CAD=∠FED，∠ADC=∠EDF，结合AC=EF，易证△ACD≌△EFD，从而有CD=FD，AD=ED，而△CEF是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一定理可知AE⊥CF，从而可证AE与CF垂直且平分．
本题考查了等腰三角形三线合一定理、平移的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定．解题的关键是证明△ACD≌△EFD．
证明题．
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