试题

题目：
观察下面的变形规律（阅读材料）：
①
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，…，
②
1
1×3
=
1
2
(1-
1
3
)，
1
3×5
=
1
2
(
1
3
-
1
5
)，
1
5×7
=
1
2
(
1
5
-
1
7
)，…；…．
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
；
（2）受（1）小问启发，请你解方程：
1
x(x+1)
+
1
x+1
=2；
（3）若n为正整数，请你猜想
1
n(n+3)
=
1
3
（
1
n
-
1
n+3
）
1
3
（
1
n
-
1
n+3
）
．
答案
1
n
-
1
n+1

1
3
（
1
n
-
1
n+3
）

解：（1）∵
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，…，
∴
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
；
故答案为：
1
n
-
1
n+1
；

（2）
1
x(x+1)
+
1
x+1
=2，
∴
1
x
-
1
x+1
+
1
x+1
=2，
∴
1
x
=2，
解得：x=
1
2
，
检验：当x=
1
2
时，x（x+1）≠0，
∴x=
1
2
是原方程的根；

（3）∵①
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，…，
②
1
1×3
=
1
2
(1-
1
3
)，
1
3×5
=
1
2
(
1
3
-
1
5
)，
1
5×7
=
1
2
(
1
5
-
1
7
)，…；
∴
1
n(n+3)
=
1
3
（
1
n
-
1
n+3
）．
故答案为：
1
3
（
1
n
-
1
n+3
）．
考点梳理
分式的加减法；解分式方程．
（1）根据①中式子的变化得出
1
n(n+1)
的值；
（2）利用①中变化规律进而化简分式，进而解分式方程求出即可；
（3）利用①②中式子变化规律进而猜想得出答案．
此题主要考查了数据变化规律以及分式的加减以及分式方程的解法，根据已知得出数据变化规律是解题关键．
阅读型．
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