试题

（2012·大兴区二模）阅读材料1：
把一个或几个图形分割后，不重叠、无缝隙的重新拼成另一个图形的过程叫做“分割--重拼”．如图1，一个梯形可以分割--重拼为一个三角形；如图2，任意两个正方形可以分割--重拼为一个正方形．
（1）请你在图3中画一条直线将三角形分割成两部分，将这两部分重新拼成两个不同的四边形，并将这两个四边形分别画在图4，图5中；
阅读材料2：
如何把一个矩形ABCD（如图6）分割--重拼为一个正方形呢？操作如下：
①画辅助图：作射线OX，在射线OX上截取OM=AB，MN=BC．以ON为直径作半圆，过点M作MI⊥OX，与半圆交于点I；
②如图6，在CD上取点F，使AF=MI，作BE⊥AF，垂足为E．把△ADF沿射线DC平移到△BCH的位置，把△AEB沿射线AF平移到△FGH的位置，得四边形EBHG．
（2）请依据上述操作过程证明得到的四边形EBHG是正方形．

解：（1）将三角形沿中位线画一条直线，三角形分为直角三角形和一个直角梯形，就可以重新组合成一个等腰梯形或正方形．如图．

（2）证明：在辅助图中，连接OI、NI．

∵ON是所作半圆的直径，
∴∠OIN=90°．
∵MI⊥ON，
∴∠OMI=∠IMN=90°且∠OIM=∠INM
∴△OIM∽△INM．
∴

OM

IM

=

IM

NM

．即IM ²=OM·NM．
∵OM=AB，MN=BC
∴IM ²⁼ AB·BC
∵AF=IM
∴AF ²=AB·BC=AB·AD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠ADF=90°，
∴∠DFA=∠EAB．
∵BE⊥AF，
∴∠BEA=90°．
∴∠ADF=∠BEA，
∴△DFA∽△EAB．
∴

AD

BE

=

AF

AB

．即AF·BE=AB·AD=AF ²．
∴AF=BE．
∵AB∥FH，AB=FH，
∴四边形AFHB是平行四边形，
∴AF=BH
∴BH=BE．
由操作方法知BE∥GH，BE=GH．
∴四边形EBHG是平行四边形．
∵∠GEB=90°，
∴平行四边形EBHG是矩形，
∵BH=BE，
∴四边形EBHG是正方形．
解：（1）将三角形沿中位线画一条直线，三角形分为直角三角形和一个直角梯形，就可以重新组合成一个等腰梯形或正方形．如图．

（2）证明：在辅助图中，连接OI、NI．

∵ON是所作半圆的直径，
∴∠OIN=90°．
∵MI⊥ON，
∴∠OMI=∠IMN=90°且∠OIM=∠INM
∴△OIM∽△INM．
∴

OM

IM

=

IM

NM

．即IM ²=OM·NM．
∵OM=AB，MN=BC
∴IM ²⁼ AB·BC
∵AF=IM
∴AF ²=AB·BC=AB·AD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠ADF=90°，
∴∠DFA=∠EAB．
∵BE⊥AF，
∴∠BEA=90°．
∴∠ADF=∠BEA，
∴△DFA∽△EAB．
∴

AD

BE

=

AF

AB

．即AF·BE=AB·AD=AF ²．
∴AF=BE．
∵AB∥FH，AB=FH，
∴四边形AFHB是平行四边形，
∴AF=BH
∴BH=BE．
由操作方法知BE∥GH，BE=GH．
∴四边形EBHG是平行四边形．
∵∠GEB=90°，
∴平行四边形EBHG是矩形，
∵BH=BE，
∴四边形EBHG是正方形．