试题

（2013·保定二模）定义：如果一条直线把一个面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．
如图1，AD是△ABC的中线，则有S_△ADC=S_△ABD，所以直线AD就是△ABC的一条面积等分线．
探究：
（1）如图2，梯形ABCD中，AB∥DC，连接AC，过B点作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE，那么有S_△AED=S_梯形ABCD，请你给出这个结论成立的理由；
（2）在图2中，过点A用尺规作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；
类比：
（3）如图3，四边形ABCD中，AB与CD不平行，过点A能否画出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．

解：（1）因为AB∥CE，AB=CE，所以四边形ABEC为平行四边形，
所以BE∥AC，
所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
所以有S_△ABC=S_△AEC，
所以S_梯形ABCD=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED；

（2）过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如图所示：
作DE的垂直平分线，交DE于G，连接AG．
则AG是梯形ABCD的面积等分线；


（3）过点A能画出四边形ABCD面积等分线，
连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，
作△AED的中线AF，则△AED的中线AF所在的直线即为四边形ABCD的面积等分线．
因为BE∥AC，所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
所以有S_△ABC=S_△AEC，
所以S_{四边形ABCD}=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED．
因为AF是△AED的中线，
∴S_△AEF=S_△AFD=

1

2

S_△AED=

1

2

S_{四边形ABCD}，
∴△AED的中线AP所在直线即为四边形ABCD的面积等分线，作图如下：
．
解：（1）因为AB∥CE，AB=CE，所以四边形ABEC为平行四边形，
所以BE∥AC，
所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
所以有S_△ABC=S_△AEC，
所以S_梯形ABCD=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED；

（2）过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如图所示：
作DE的垂直平分线，交DE于G，连接AG．
则AG是梯形ABCD的面积等分线；


（3）过点A能画出四边形ABCD面积等分线，
连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，
作△AED的中线AF，则△AED的中线AF所在的直线即为四边形ABCD的面积等分线．
因为BE∥AC，所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
所以有S_△ABC=S_△AEC，
所以S_{四边形ABCD}=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED．
因为AF是△AED的中线，
∴S_△AEF=S_△AFD=

1

2

S_△AED=

1

2

S_{四边形ABCD}，
∴△AED的中线AP所在直线即为四边形ABCD的面积等分线，作图如下：
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