试题

观察按下列规律排成的一列数：1，

1

2

，

2

1

，

1

3

，

2

2

，

3

1

，

1

4

，

2

3

，

3

2

，

4

1

，

1

5

，

2

4

，

3

3

，

4

2

，

5

1

，

1

6

，…
这列数也可分组排列：(1)，(

1

2

，

2

1

)，(

1

3

，

2

2

，

3

1

)，(

1

4

，

2

3

，

3

2

，

4

1

)，…
（1）如果按分组排列，请问

2

200

从左往右依次在第几组？
（2）如果

2

200

是原数列中的第m个数，请先求m的值，再求该数列中前m个数的乘积；
（3）在原数列中，未经约分且分母为2的数记为a，与它相邻的后一个数记为b，是否存在这样的两个数a和b，使ab=4950？如果存在，请求出a和b；如果不存在，请说明理由．

解：（1）∵分组：（

1

1

），（

1

2

，

2

1

），（

1

3

，

2

2

，

3

1

），（

1

4

，

2

3

，

3

2

，

4

1

），…（

1

201

，

2

200

，…，

201

1

）
∴按分组排列，

2

200

从左往右在第201组；

（2）∵

2

200

是原数列中的第m个数，
∴m=1+2+3+4+…+199+200+2=20102，
∵每组的积为1，∴该数列中前m个数的乘积为：

1

201

×

2

200

=

2

40200

=

1

20100

；

（3）a为某组倒数第二个数，b为该组最后一个数，
设它们在第n组a=

n-1

2

，b=

n

1

，
则

n-1

2

×

n

1

=4950，
解得：n₁=100，n₂=-99（不合题意舍去），
则a=

100-1

2

=

99

2

，b=

100

1

=100．
解：（1）∵分组：（

1

1

），（

1

2

，

2

1

），（

1

3

，

2

2

，

3

1

），（

1

4

，

2

3

，

3

2

，

4

1

），…（

1

201

，

2

200

，…，

201

1

）
∴按分组排列，

2

200

从左往右在第201组；

（2）∵

2

200

是原数列中的第m个数，
∴m=1+2+3+4+…+199+200+2=20102，
∵每组的积为1，∴该数列中前m个数的乘积为：

1

201

×

2

200

=

2

40200

=

1

20100

；

（3）a为某组倒数第二个数，b为该组最后一个数，
设它们在第n组a=

n-1

2

，b=

n

1

，
则

n-1

2

×

n

1

=4950，
解得：n₁=100，n₂=-99（不合题意舍去），
则a=

100-1

2

=

99

2

，b=

100

1

=100．