试题

题目：

观察下列运算并填空：
1×2×3×4+1=25=5²；
2×3×4×5+1=121=11²：
3×4×5×6+1=361=19²；…
根据以上结果，猜想研究n（n+1）（n+2）（n+3）+1=

（n²+3n+1）²

．

答案

（n²+3n+1）²

解：等号右边的底数分别为
5=1+3+1
11=2²+2×3+1
19=3²+3×3+1
下一个为等号左边为：4×5×6×7+1
等号右边为：4²+3×4+1=29，
…
则第n个式子为：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²．

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考点
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专题

规律型：数字的变化类．

找相似题

探索规律：现有一列数，a₁，a₂，a₃，…a₉₇，a₉₈，a₉₉，a₁₀₀，其中a₃=9，a₇=-7，a₉₈=-1，且满足任意相邻三个数的和为同一常数，则a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₉₇+a₉₈+a₉₉+a₁₀₀=
26
26
．
请观察下列算式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
4×5
=
1
4
-
1
5

则第10个算式为
1
10×11
1
10×11
=
1
10
-
1
11
1
10
-
1
11
，
第n个算式为
1
n×(n+1)
1
n×(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1

请计算
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2002×2003
．
（1）观察一列数a₁=3，a₂=9，a₃=27，a₄=81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是
3
3
；根据此规律，如果a_n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a₆=
3⁶
3⁶
，a_n=
3ⁿ
3ⁿ
；（可用幂的形式表示）
（2）如果想要求1+2+2²+2³+…+2¹⁰的值，可令S10=1+2+22+23+…+210①将①式两边同乘以2，得
2S₁₀=2+2²+2³+…+2¹⁰+2¹¹
2S₁₀=2+2²+2³+…+2¹⁰+2¹¹
②，由②减去①式，得S₁₀=
2¹¹-1
2¹¹-1
．
（3）若（1）中数列共有20项，设S₂₀=3+9+27+81+…+a₂₀，请利用上述规律和方法计算S₂₀的值．
（4）设一列数1，
1
2
，
1
4
，
1
8
，…，
1
2n-1
的和为S_n，则S_n的值为
2-
1
2n-1
2-
1
2n-1
．
将连续的奇数1，3，5，7，9…，排成如下的数表：
（1）计算十字框中的五个数的平均数，它与中间的数15有什么关系？
（2）请将十字框上下左右适当平移，使它框住另外的五个数，画出图形并进行计算，上边的关系还成立吗？
（3）象这样框住的五个数之和能否等于305？请说明理由．
观察下面三行数：
2，-4，8，-16，…①
-1，2，-4，8，…②
3，-3，9，-15，…③
（1）第①行数按什么规律排列？
（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和？