试题

已知抛物线y=x²+kx+k-2．
（1）求证：不论k为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若反比例函数y=

m

x

的图象与y=-

6

x

的图象关于y轴对称，又与抛物线交于点A（n，-3），求抛物线的解析式；
（3）若点P是（2）中抛物线上的一点，且点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标．

（1）证明：△=k²-4×1×（k-2）
=k²-4k+4+4
=（k-2）²+4，
∵（k-2）²≥0，
∴（k-2）²+4＞0，
即△＞0，
∴抛物线与x轴总有两个交点；

（2）解：∵反比例函数y=

m

x

的图象与y=-

6

x

的图象关于y轴对称，
∴m=6，
∴

6

n

=-3，
解得n=-2，
∴点A的坐标为（-2，-3），
∴（-2）²+（-2）k+k-2=-3，
解得k=5，
∴抛物线解析式为：y=x²+5x+3；

（3）解：∵抛物线上的点P到两坐标轴的距离相等，
∴①点P的横坐标与纵坐标相同时，y=x，
与抛物线解析式联立得，

y=x y=x2+5x+3

，
解得

x1=-1 y1=-1

，

x2=-3 y2=-3

，
②点P的横坐标与纵坐标互为相反数时，y=-x，
与抛物线解析式联立得，

y=-x y=x2+5x+3

，
解得

x3=-3+ 6 y3=3- 6

，

x4=-3- 6 y4=3+ 6

，
∴点P的坐标为（-1，-1）或（-3，-3）或（-3+

6

，3-

6

）或（-3-

6

，3+

6

）．
（1）证明：△=k²-4×1×（k-2）
=k²-4k+4+4
=（k-2）²+4，
∵（k-2）²≥0，
∴（k-2）²+4＞0，
即△＞0，
∴抛物线与x轴总有两个交点；

（2）解：∵反比例函数y=

m

x

的图象与y=-

6

x

的图象关于y轴对称，
∴m=6，
∴

6

n

=-3，
解得n=-2，
∴点A的坐标为（-2，-3），
∴（-2）²+（-2）k+k-2=-3，
解得k=5，
∴抛物线解析式为：y=x²+5x+3；

（3）解：∵抛物线上的点P到两坐标轴的距离相等，
∴①点P的横坐标与纵坐标相同时，y=x，
与抛物线解析式联立得，

y=x y=x2+5x+3

，
解得

x1=-1 y1=-1

，

x2=-3 y2=-3

，
②点P的横坐标与纵坐标互为相反数时，y=-x，
与抛物线解析式联立得，

y=-x y=x2+5x+3

，
解得

x3=-3+ 6 y3=3- 6

，

x4=-3- 6 y4=3+ 6

，
∴点P的坐标为（-1，-1）或（-3，-3）或（-3+

6

，3-

6

）或（-3-

6

，3+

6

）．