试题

题目：
若实数a满足a十+a2-十a+2=
十
a
-
她
a2
-
她
a十
，则a+
她
a
=
2或-十
2或-十

答案
2或-十

解：∵实数a满足a3+a2-3a+2=
3
a
-
1
a2
-
1
a3
，
∴a3+a2-3a+2-
3
a
+
1
a2
+
1
a3
=八，
∴a3+
1
a3
+a2+
1
a2
+2-3（a+
1
a
）=八，
（a+
1
a
）（a2-1+
1
a2
）+（a+
1
a
）2-3（a+
1
a
）=八，
（a+
1
a
）（a2-1+
1
a2
+a+
1
a
-3）=八，
∴（a+
1
a
）[（a+
1
a
）2+（a+
1
a
）-6]=八，
∴（a+
1
a
）（a+
1
a
+3）（a+
1
a
-2）=八，
而a+
1
a
≠八，
∴a+
1
a
+3=八，或a+
1
a
-2=八，
∴a+
1
a
=-3或2．
故答案为：-3或2．
考点梳理
完全平方公式．
首先把等式移项a3+a2-3a+2-
3
a
+
1
a2
+
1
a3
=0，然后分组，分别利用立方和公式、完全平方公式、分解因式得到（a+
1
a
）（a+
1
a
+3）（a+
1
a
-2）=0，由此即可求出结果．
此题主要考查了立方差公式、完全平方公式及利用分组法分解因式，解题的关键通过分组能够分解因式，也利用了整体代值的思想，题目比较难，对于学生的代数变形的能力要求比较高．
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