试题

题目：

如图，△ABC的面积是其内接矩形PQRS面积的3倍，并且BC和高线AD的值是有理数，问矩形PQRS的周长值在什么情况下是有理数？在什么情况下是无理数？
青果学院

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答案

解：设BC=a，AD=h，QR=x，PQ=y
由已知：xy=

1

3

×

1

2

ah=

1

6

ah，

h-y

h

=

x

a

；
即hx+ay=ah，hx·ay=

1

6

a²h²
解得

x=

3+

3

6

a

y=

3-

3

6

h

∴周长l=2（x+y）=a+h±

a-h

3

当a=h时，矩形PQRS的周长为有理数；
当a≠h时，矩形PQRS的周长为无理数．
解：设BC=a，AD=h，QR=x，PQ=y
由已知：xy=

1

3

×

1

2

ah=

1

6

ah，

h-y

h

=

x

a

；
即hx+ay=ah，hx·ay=

1

6

a²h²
解得

x=

3+

3

6

a

y=

3-

3

6

h

∴周长l=2（x+y）=a+h±

a-h

3

当a=h时，矩形PQRS的周长为有理数；
当a≠h时，矩形PQRS的周长为无理数．

考点梳理

矩形的性质；无理数；三角形的面积．

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