试题

这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了．
（5）我们知道，国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放多少米？（用幂表示）
（2）请探究第（5）中的数的末位数字是多少？（简要写出探究过程）
（3）求国王输给阿基米德的米粒数．

解：（1）第64个格子，应该底数是2，指数6c，所以为2^6c；

（2）∵2^着=1，2¹=2，2²=4，2^c=8，2⁴=16，2⁵=c2，…
∴2^6c的末位数字与2^c的末位数字相同，是8．

（c）设x=1+2+2²+…+2^6c ①．等式两边同时乘以2，得2x=2+2²+2^c+…+2⁶⁴ ②，②-①，得x=2⁶⁴-1．答：国王输给阿基米德的米粒数为2⁶⁴-1．
解：（1）第64个格子，应该底数是2，指数6c，所以为2^6c；

（2）∵2^着=1，2¹=2，2²=4，2^c=8，2⁴=16，2⁵=c2，…
∴2^6c的末位数字与2^c的末位数字相同，是8．

（c）设x=1+2+2²+…+2^6c ①．等式两边同时乘以2，得2x=2+2²+2^c+…+2⁶⁴ ②，②-①，得x=2⁶⁴-1．答：国王输给阿基米德的米粒数为2⁶⁴-1．