试题
题目：
设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x
2
+2ax+b
2
与x
2
+2cx-b
2
有一次公因式，证明：△ABC一定是直角三角形．
答案
证明：因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，
所以二次方程x
2
+2ax+b
2
=0与x
2
+2cx-b
2
=0必有公共根，设公共根为x
0
，
则
x
0
2
+2a
x
0
+
b
2
=0 ①
x
0
2
+2c
x
0
-
b
2
=0 ②
①+②得：
2x
0
2
+2（a+c）x
0
=0
2x
0
[x
0
+（a+c）]=0
∴x
0
=0或x
0
=-（a+c）
若x
0
=0，代入①式得b=0，这与b为△ABC的边不符，
所以公共根x
0
=-（a+c）．把x
0
=-（a+c）代入①式得（a+c）
2
-2a（a+c）+b
2
=0，
整理得a
2
=b
2
+c
2
所以△ABC为直角三角形．
证明：因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，
所以二次方程x
2
+2ax+b
2
=0与x
2
+2cx-b
2
=0必有公共根，设公共根为x
0
，
则
x
0
2
+2a
x
0
+
b
2
=0 ①
x
0
2
+2c
x
0
-
b
2
=0 ②
①+②得：
2x
0
2
+2（a+c）x
0
=0
2x
0
[x
0
+（a+c）]=0
∴x
0
=0或x
0
=-（a+c）
若x
0
=0，代入①式得b=0，这与b为△ABC的边不符，
所以公共根x
0
=-（a+c）．把x
0
=-（a+c）代入①式得（a+c）
2
-2a（a+c）+b
2
=0，
整理得a
2
=b
2
+c
2
所以△ABC为直角三角形．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
一元二次方程的解；勾股定理的逆定理．
设两个方程的公共根是x
0
，代入两方程求出公共根，再把求出的根代入方程就可以确定a，b，c的关系，然后判断三角形的形状．
本题考查的是一元二次方程的公共解，一般是设方程的公共解，求出公共解后代入方程，确定a，b，c的关系，然后判断三角形的形状．
证明题．
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