试题

题目：
已知两个二次方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=0有一个公共根为1，求证：二次方程x2+
a+c
2
x+
b+d
2
=0也有一个根为1．
答案
证明：∵x=1是方程x2+ax+b=0和x2+cx+d=0的公共根，
∴a+b+1=0，c+d+1=0，
∴a+c+b+d+2=0，
∴b+d=-a-c-2  ①
把①代入方程x2+
a+c
2
x+
b+d
2
=0，
得：x2+
a+c
2
x-1-
a+c
2
=0，
（x2-1）+
a+c
2
（x-1）=0，
（x-1）（x+1+
a+c
2
）=0，
∴x1=1，x2=-1-
a+c
2
．
故二次方程x2+
a+c
2
x+
b+d
2
=0也有一个公共根为1．
证明：∵x=1是方程x2+ax+b=0和x2+cx+d=0的公共根，
∴a+b+1=0，c+d+1=0，
∴a+c+b+d+2=0，
∴b+d=-a-c-2  ①
把①代入方程x2+
a+c
2
x+
b+d
2
=0，
得：x2+
a+c
2
x-1-
a+c
2
=0，
（x2-1）+
a+c
2
（x-1）=0，
（x-1）（x+1+
a+c
2
）=0，
∴x1=1，x2=-1-
a+c
2
．
故二次方程x2+
a+c
2
x+
b+d
2
=0也有一个公共根为1．
考点梳理
一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
本题是一道证明题，因为x=1是这两个方程的公共根，所以它必须同时满足这两个方程，得到字母系数a，b，c，d之间的关系，然后利用它们之间的关系就可以证明．
本题考查的是一元二次方程的解，由方程的解确定字母系数之间的关系，利用它们之间的关系加以证明．
方程思想．
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