试题

问题：能比较两个数2010²⁰¹¹和2011²⁰¹⁰的大小吗？为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较nⁿ⁺¹与（n+1）的大小（n是自然数），然后，我们从分析n=1，n=2，n=3，…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在空格内填写“＞”“=”或“＜”
①1²2¹；②2³3²；③3⁴4³；④4⁵5⁴；⑤5⁶6⁵．
（2）从第（1）题的结果经过归纳，可猜想出nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ的大小关系是．
（3）根据上面的归纳猜想得到的一般结论，试比较下面两个数的大小：2010²⁰¹¹2011²⁰¹⁰．

解：①1²=1，2¹=2，则1^2＜2¹；
②2³=8，3²=9，则2³＜3²；
③3⁴=81，4³=64，则3⁴＞4³；
④4⁵=1024，5⁴=625，则4⁵＞5⁴；
⑤5⁶＞6⁵；
故答案为：＜，＜，＞，＞，＞；
（1）从上面的结果经过归纳，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系是：
当n＜3时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
当n＞3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
故答案为：当n＜3时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，当n＞3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（2）∵2010＞3，
∴2010²⁰¹¹＞2011²⁰¹⁰．
故答案为：＞．