试题

题目：
青果学院（2003·温州）已知△ABC（如图），∠B=∠C=30度．请设计三种不同的分法，将△ABC分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形．请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数（或记号），并在各种分法的空格线上填空．（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．
分法一：
分割后所得的四个三角形中△
DAE
DAE
≌△
FAE
FAE
，Rt△
BDA
BDA
∽Rt△
CFE
CFE
；
分法二：
分割后所得的四个三角形中△
AFE
AFE
≌△
BFE
BFE
，Rt△
CDA
CDA
∽Rt△
BFE
BFE
；
分法三：
分割后所得的四个三角形中△
EFD
EFD
≌△
EFC
EFC
，Rt△
BAD
BAD
∽Rt△
ADE
ADE
．
答案
DAE

FAE

BDA

CFE

AFE

BFE

CDA

BFE

EFD

EFC

BAD

ADE

解：
青果学院
分法一：分割后所得的四个三角形中△DAE≌△FAE，Rt△BDA∽Rt△CFE；
分法二：分割后所得的四个三角形中△AFE≌△BFE，Rt△CDA∽Rt△BFE；
分法三：分割后所得的四个三角形中△EFD≌△EFC，Rt△BAD∽Rt△ADE．
考点梳理
作图—应用与设计作图．
分法1：作出AD⊥BC后，可得到两个全等的，都为30°，60°，90°的直角三角形；然后作出∠DAC的平分线，那么∠DAE=∠EAF=30°，作出EF⊥AC，可得到△DAE≌△FAE，△EFC的各角为30°，60°，90°与△ABD相似；
分法2：仿照分法1，但是在平分的角是∠BAD，垂足在AB上；
分法3：作∠BAD=90°，那么分得的两个三角形分别为30°，60°，90°的直角三角形和30°，30°，120°的等腰三角形．把钝角继续分割，分割为90°和30°，那么△ADE∽△BAD，过E作EF⊥BC于点F，那么可得到一对全等的三角形．
应从最常做的分法入手，充分使用30°，60°，90°的直角三角形得到相似．
压轴题；操作型．
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