试题

题目：
对于正数x，规定f（x）=
x2
1+x2
，
（1）计算f（2）=
4
5
4
5
；f（
3
）=
3
4
3
4
；f（2）+f（
1
2
）=
1
1
；f（3）+f（
1
3
）=
1
1
．
（2）猜想f（x）+f(
1
x
)=
1
1
；请予以证明．
答案
4
5

3
4

1

1

1

解：（1）当x=2时，
x2
1+ x2
=
4
5
；当x=
3
时，
x2
1+ x2
=
3
4
；当x=
1
2
时，
x2
1+ x2
=
1
5

∴f（2）+f（
1
2
）=1；
∵f（3）=
9
10
，f（
1
3
）=
1
10
，
∴f（3）+f（
1
3
）=1．
（2）1．
证明：f(x)+f(
1
x
)=
x2
1+x2
+
1
x2
1+
1
x2
=
x2
1+x2
+
1
x2+1
=1．
考点梳理
函数值．
（1）把x=2代入所给解析式计算即可；把x=
3
代入所给解析式计算即可；把x=
1
2
代入所给解析式得到相应的结果后加上当x=2时的结果即为f（2）+f（
1
2
）的值；把x=3，x=
1
3
代入所给解析式可得相应的函数值，相加即为f（3）+f（
1
3
）的结果；
（2）由（2）可得两个自变量互为倒数的函数值的和为1，把x，
1
x
分别代入所给函数解析式，进而把函数值相加即可．
解决本题的关键是找到相应的自变量以得到准确的函数值；注意把所得规律进行应用．
计算题．
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