试题

如图，以△ABC的边BC为弦，在点A的同侧画

BC

交AB于D，且∠BDC=90°+

1

2

∠A，点P是

BC

上的一个动点．
（1）判定△ADC的形状，并说明理由；
（2）若∠A=70°，当点P运动到∠PBA=∠PBC=15°时，求∠ACB和∠ACP的度数．
（3）当点P在

BC

上运动时，过点P画直线MN⊥AP，分别交AB、AC于点M、N，是否存在这样的点P，使得△BMP和△BPC和△CPN彼此相似？请说明理由．

解：（1）∵△ADC是等腰三角形．
∵∠BDC=90°+

∠A

2

，
∴∠ADC=90°-

∠A

2

，
∴∠ACD=90°+

∠A

2

-∠A=90°-

∠A

2

，
∴∠ACD=∠ADC，
∴△ADC是等腰三角形．

（2）∵∠A=70°，∠PBA=∠PBC=15°，
∴∠ACB=180°-70°-2×15°=80°，
∵∠BPC=∠BDC=90°+

70°

2

=125°，
∴∠PCB=180°-15°-125°=40°，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=80°-40°=40°．
答：∠ACB为80°，∠ACP为40°．

（3）当点P运动至

CD

的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．
∵P运动至

CD

的中点，
∴∠ABP=∠CBP，
设∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，
∴∠PCB=180-y-（90+

x

2

）=90-y-

x

2

，
∵∠ACB=180-x-2y，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=（180-x-2y）-（90-y-

x

2

）=90-y-

x

2

，
∴∠PCB=∠ACP，
∴PC平分∠ACB．
∴当点P运动至

CD

的中点时，点P是△ABC的角平分线的交点．
∴AP平分∠BAC．
∴∠BMP=∠CNP=90+

x

2

=∠BPC，
∴△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．
解：（1）∵△ADC是等腰三角形．
∵∠BDC=90°+

∠A

2

，
∴∠ADC=90°-

∠A

2

，
∴∠ACD=90°+

∠A

2

-∠A=90°-

∠A

2

，
∴∠ACD=∠ADC，
∴△ADC是等腰三角形．

（2）∵∠A=70°，∠PBA=∠PBC=15°，
∴∠ACB=180°-70°-2×15°=80°，
∵∠BPC=∠BDC=90°+

70°

2

=125°，
∴∠PCB=180°-15°-125°=40°，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=80°-40°=40°．
答：∠ACB为80°，∠ACP为40°．

（3）当点P运动至

CD

的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．
∵P运动至

CD

的中点，
∴∠ABP=∠CBP，
设∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，
∴∠PCB=180-y-（90+

x

2

）=90-y-

x

2

，
∵∠ACB=180-x-2y，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=（180-x-2y）-（90-y-

x

2

）=90-y-

x

2

，
∴∠PCB=∠ACP，
∴PC平分∠ACB．
∴当点P运动至

CD

的中点时，点P是△ABC的角平分线的交点．
∴AP平分∠BAC．
∴∠BMP=∠CNP=90+

x

2

=∠BPC，
∴△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．