试题

如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（4

2

，0），动点P从点O出发，沿折线OACB方向匀速运动，另一动点Q从点C出发，沿折线CBOA方向匀速运动．
（1）求点A的坐标点和正方形AOBC的面积；
（2）将正方形绕点O顺时针旋转45°，求旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；
（3）若P的运动速度是1个单位/每秒，Q的运动速度是2个单位/每秒，P、Q两点同时出发，当Q运动到点A 时P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒，是否存在这样的t值，使△OPQ成为等腰三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）连接AB，与OC交于点D，
由△OCA为等腰Rt△，得AD=OD=

1

2

OC=2

2

，（1分）
∴点A的坐标为（2

2

，2

2

），（2分）
正方形AOBC的面积16（1分）

（2）旋转后可得OA′=OB=4，（1分）
∴A′C=4

2

-4，而可知∠CA′E=90°，∠OCB=45°，
∴△A′EC是等腰直角三角形，
∴A′E=A′C=4

2

-4，（1分）
∴S_{四边形OA’EB}=S_△OBC-S_△A’EC=16

2

-16．（2分）

（3）存在，从Q点在不同的线段上运动情况，可分为三种：
①当Q点在BC上时，使OQ=QP，QM为OP的垂直平分线，
则有OP=2OM=2BQ，而OP=t，BQ=4-2t，

∴t=2（4-2t），
∴t=

8

5

．（1分）
∴Q（

12 2

5

，-

8 2

5

）
②当Q点在OB上时，使OQ=OP，而OP=t，OQ=8-2t，
∴t=8-2t，
∴t=

8

3

．（1分）
∴Q（

4 2

3

，-

4 2

3

）
③当Q点在OA上时，使OQ=PQ，t²-24t+96=0，t=12+4

3

（舍去），t=12-4

3

．（2分）
∴Q（4

11

，4

11

）
（注：其他解法只要正确，同样相应给分）
解：（1）连接AB，与OC交于点D，
由△OCA为等腰Rt△，得AD=OD=

1

2

OC=2

2

，（1分）
∴点A的坐标为（2

2

，2

2

），（2分）
正方形AOBC的面积16（1分）

（2）旋转后可得OA′=OB=4，（1分）
∴A′C=4

2

-4，而可知∠CA′E=90°，∠OCB=45°，
∴△A′EC是等腰直角三角形，
∴A′E=A′C=4

2

-4，（1分）
∴S_{四边形OA’EB}=S_△OBC-S_△A’EC=16

2

-16．（2分）

（3）存在，从Q点在不同的线段上运动情况，可分为三种：
①当Q点在BC上时，使OQ=QP，QM为OP的垂直平分线，
则有OP=2OM=2BQ，而OP=t，BQ=4-2t，

∴t=2（4-2t），
∴t=

8

5

．（1分）
∴Q（

12 2

5

，-

8 2

5

）
②当Q点在OB上时，使OQ=OP，而OP=t，OQ=8-2t，
∴t=8-2t，
∴t=

8

3

．（1分）
∴Q（

4 2

3

，-

4 2

3

）
③当Q点在OA上时，使OQ=PQ，t²-24t+96=0，t=12+4

3

（舍去），t=12-4

3

．（2分）
∴Q（4

11

，4

11

）
（注：其他解法只要正确，同样相应给分）