试题

如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．
（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

（1）证明：在正方形ABCD中，无论点P运动到AB上何处时，
都有AD=AB，∠DAQ=∠BAQ=45°，
在△ADQ和△ABQ中，

AD=AB ∠DAQ=∠BAQ AQ=AQ

，
∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；

（2）若△ADQ是等腰三角形，
则有①如图1，AQ=DQ时，点Q为正方形ABCD的中心，点B、P重合；

②如图2，AQ=AD时，根据等边对等角有∠ADQ=∠AQD，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC=

42+42

=4

2

，
∴CQ=AC-AQ=4

2

-4，
∵AD∥BC，
∴∠CPQ=∠ADQ，
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CP=CQ=4

2

-4，
此时点P在距离点B：4-（4

2

-4）=8-4

2

；

③如图3，AD=DQ时，点C、P、Q三点重合；
综上所述，当点P运动到①点B的位置；②在BC上，且到点B的距离为8-4

2

处；③运动到点C的位置时，△ADQ恰为等腰三角形．
（1）证明：在正方形ABCD中，无论点P运动到AB上何处时，
都有AD=AB，∠DAQ=∠BAQ=45°，
在△ADQ和△ABQ中，

AD=AB ∠DAQ=∠BAQ AQ=AQ

，
∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；

（2）若△ADQ是等腰三角形，
则有①如图1，AQ=DQ时，点Q为正方形ABCD的中心，点B、P重合；

②如图2，AQ=AD时，根据等边对等角有∠ADQ=∠AQD，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC=

42+42

=4

2

，
∴CQ=AC-AQ=4

2

-4，
∵AD∥BC，
∴∠CPQ=∠ADQ，
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CP=CQ=4

2

-4，
此时点P在距离点B：4-（4

2

-4）=8-4

2

；

③如图3，AD=DQ时，点C、P、Q三点重合；
综上所述，当点P运动到①点B的位置；②在BC上，且到点B的距离为8-4

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处；③运动到点C的位置时，△ADQ恰为等腰三角形．