试题

如图，矩形OABC的边OA、OC都在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，3），动点P从O点出发在线段OA上以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，点D在对角线AC上，且AD=2，设运动时间为t秒．
（1）请写出△APD的面积S关于t 的函数关系式，此时t的取值范围是．
（2）若在动点P从O点出发的同时，有一动点Q从A点出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，动点P停止时，点Q也随之停止，请问在运动过程中，当t为何值时，CP⊥PQ？
（3）在点P的运动过程中，是否存在以A、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时t的值和对应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）过点D作DE⊥OA，交OA于点E，
∵点B（4，3），四边形ABCD是矩形，
∴OA=BC=4，AB=OC=3，
∴点A（4，0），点C（0，3），
∴AC=

OA2+OC2

=

42+32

=5，
∵DE⊥OA，
∴DE∥OC，
∴

DE

AD

=

OC

AB

，
∵AD=2，
∴

DE

2

=

3

5

，
解得DE=

6

5

，
∵P的速度是每秒2个单位长度，
∴OP=2t，
∴AP=OA-OP=4-2t，
∴S_△APD=

1

2

AP·DE=

1

2

×（4-2t）×

6

5

=-

6

5

t+

12

5

，
∵AC=4，
∴

1

2

AC=2，
∴t的取值范围是0≤t≤2；

（2）如图，过点Q作QF⊥OA于点F，
∵CP⊥PQ，
∴∠CPQ=90°，
∴∠QPA+∠CPO=90°，
∵∠CPO+∠OCP=90°，
∴∠QPA=∠OCP，
∴△COP∽△PQF，
∴

OP

OC

=

QF

PF

，
∵Q的速度是每秒1个单位长度，
∴AQ=t，
∴QF=AQ·sin∠OAC=t·

3

5

=

3

5

t，
AF=AQ·cos∠OAC=t·

4

5

=

4

5

t，
∴PF=OA-OP-AF=4-2t-

4

5

t=4-

14

5

t，
故

2t

3

=

3 5 t

4- 14 5 t

，
解得t=

31

28

，
当t=

31

28

秒时，CP⊥PQ；


（3）存在三种情况，使△PDA为等腰三角形．
①AD=AP时，∵AD=2，AD=AP，
∴AP=2，
∴OP=OA-AP=4-2=2，
∴

OP

2

=

2

2

=1（秒），
∴当t=1秒时，△PDA是等腰三角形；
②AD=PD时，底边为AP，
∵AD=PD，DE⊥OA，
∴AE=PE，
∵DE∥OC，
∴

AE

AD

=

OA

AC

，
∴

AE

2

=

4

5

，
解得AE=

8

5

，
∴AP=2AE=

16

5

，
∴OP=OA-AP=4-

16

5

=

4

5

，
∴

1

2

OP=

1

2

×

4

5

=

2

5

，
即当t=

2

5

秒时，△PDA是等腰三角形；
③AP=PD时，底边为AD，
过点P作PF⊥AD，
∵AP=PD，
∴AF=DF=

1

2

AD=

1

2

×2=1，
∵EF⊥AD，∠CAO=∠DAE，
∴△APF∽△ACO，
∴

AP

AF

=

AC

BC

，
∴

AP

1

=

5

4

，
解得AP=

5

4

，
∴OP=OA-AP=4-

5

4

=

11

4

，
∴

1

2

OP=

1

2

×

11

4

=

11

8

，
即当t=

11

8

秒时，△PDA是等腰三角形．