试题

（2003·厦门）如图，BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D为垂足．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）若

AE

AD

=3，F、G分别为AE、AD上的点，FG交AB于点H，且

AF

AG

=3，求证：△AHG是等腰三角形．

证明：（1）∵BD、BE分别是∠ABC与∠ABP的平分线，
∴∠ABD+∠ABE=

1

2

×180°=90°，
即∠EBD=90°，
又∵AE⊥BE，AD⊥BD，E、D是垂足，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∴四边形AEBD是矩形．

（2）连接ED交AB于O，
∵

AE

AD

=3，

AF

AG

=3，
∴

AE

AD

=

AF

AG

=3，
∴FG∥ED，
∴∠ADO=∠AGH，
∵四边形AEBD是矩形，
∴AB=DE，O是AB、DE的中点，
∴OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠AGH=∠ADO=∠DAO，
∴AH=GH，
∴△AGH是等腰三角形．
证明：（1）∵BD、BE分别是∠ABC与∠ABP的平分线，
∴∠ABD+∠ABE=

1

2

×180°=90°，
即∠EBD=90°，
又∵AE⊥BE，AD⊥BD，E、D是垂足，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∴四边形AEBD是矩形．

（2）连接ED交AB于O，
∵

AE

AD

=3，

AF

AG

=3，
∴

AE

AD

=

AF

AG

=3，
∴FG∥ED，
∴∠ADO=∠AGH，
∵四边形AEBD是矩形，
∴AB=DE，O是AB、DE的中点，
∴OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠AGH=∠ADO=∠DAO，
∴AH=GH，
∴△AGH是等腰三角形．