试题

（2009·攀枝花）如图所示，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，且OA=15，OC=9，在边AB上选取一点D，将△AOD沿OD翻折，使点A落在BC边上，记为点E．
（1）求DE所在直线的解析式；
（2）设点P在x轴上，以点O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形，问这样的点P有几个，并求出所有满足条件的点P的坐标；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使四边形MNED的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

解：（1）由题意知，OE=OA=15，AD=DE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=

OE2-OC2

=

225-81

=12，
∴BE=BC-CE=15-12=3
在Rt△BED中，由勾股定理知：AD²=DE²=BE²+BD²，即DE²=（9-DE）²+3²，
解得DE=5，
∴AD=5
∴D（15，5），E（12，9）
设DE直线的解析式为y=kx+b，
∴

5=15k+b 9=12k+b

解得k=-

4

3

，b=25
∴DE直线的解析式为y=-

4

3

x+25；

（2）当在x的正半轴上，OP₁=OE=15时，点P₁与点A重合，则P₁（15，0）；
当在x的负半轴上，OP₂=OE=15时，则P₂（-15，0）；
当OE=EP₃时，作EH⊥OA于点H，有OH=CE=HP₃=12，则P₃（24，0）；
当OP₄=EP₄时，由勾股定理知P₄H²+EH²=P₄E²，即（12-P₄E）²+9²=P₄E²
解得OP₄=EP₄=

75

8

，即P₄（

75

8

，0）；
∴满足△OPE为等腰三角形的点有四个：
P₁（15，0）；P₂（-15，0）；P₃（24，0）；P₄（

75

8

，0）；

（3）作点D关于x的对称点D′，点E关于y轴的对称点E′，连接E′D′，
分别交于y轴、x轴于点N、点M，则点M、N是所求得的点．
在Rt△BE′D′中，D′E′=

E′B2+D′B2

=5

37

∴四边形DENM的周长=DE+EN+MN+MD=DE+D′E′=5+5

37

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解：（1）由题意知，OE=OA=15，AD=DE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=

OE2-OC2

=

225-81

=12，
∴BE=BC-CE=15-12=3
在Rt△BED中，由勾股定理知：AD²=DE²=BE²+BD²，即DE²=（9-DE）²+3²，
解得DE=5，
∴AD=5
∴D（15，5），E（12，9）
设DE直线的解析式为y=kx+b，
∴

5=15k+b 9=12k+b

解得k=-

4

3

，b=25
∴DE直线的解析式为y=-

4

3

x+25；

（2）当在x的正半轴上，OP₁=OE=15时，点P₁与点A重合，则P₁（15，0）；
当在x的负半轴上，OP₂=OE=15时，则P₂（-15，0）；
当OE=EP₃时，作EH⊥OA于点H，有OH=CE=HP₃=12，则P₃（24，0）；
当OP₄=EP₄时，由勾股定理知P₄H²+EH²=P₄E²，即（12-P₄E）²+9²=P₄E²
解得OP₄=EP₄=

75

8

，即P₄（

75

8

，0）；
∴满足△OPE为等腰三角形的点有四个：
P₁（15，0）；P₂（-15，0）；P₃（24，0）；P₄（

75

8

，0）；

（3）作点D关于x的对称点D′，点E关于y轴的对称点E′，连接E′D′，
分别交于y轴、x轴于点N、点M，则点M、N是所求得的点．
在Rt△BE′D′中，D′E′=

E′B2+D′B2

=5

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∴四边形DENM的周长=DE+EN+MN+MD=DE+D′E′=5+5

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