试题

如图，函数y=

k

2x

和y=

1

2

x的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使△BOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的点P都求出来；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵A为两函数图象的交点，A点横坐标为2，把A点的横坐标代入y=

1

2

x得，y=

1

2

×2=1，
∴A（2，1），
设反比例函数的解析式为y=

k

x

（k≠0），把A（2，1）代入得，
1=

k

2

，k=2，
∴反比例函数的解析式为y=

2

x

；（3分）

（2）由

y= 2 x y= 1 2 x

，
解得

x1=2 y1=1

，

x2=-2 y2=-1

，
所以点B的坐标为：（-2，-1）．（5分）
解法二：由对称性，A与B关于点O对称；
∵A（2，1），∴B（-2，-1）（5分）

（3）作BC⊥x轴，垂足为C，
∵B（-2，-1），∴OC=2，BC=1，
在Rt△OBC中，由勾股定理得，
OB=

OC2+BC2

=

12+22

=

5

．（6分）
分三种情况讨论：
①当OB=OP时，P₁（

5

，0），P₂（-

5

，0）；（8分）
②当OB=BP₃时，OP₃=2OC=4，∴P₃（-4，0）．（9分）
③作OB的垂直平分线交OB于D．
设P₄（x，0），则OP₄=BP₄=-x，CP₄=2+x，BC=1．
（2+x）²+1²=（-x）²，
x=-

5

4

∴p₄（-

5

4

，0），（11分）
综上所述，符合条件的P点坐标为：
P₁（

5

，0）、P₂（-

5

，0）、P₃（-4，0）、p₄（-

5

4

，0）．（12分）
解：（1）∵A为两函数图象的交点，A点横坐标为2，把A点的横坐标代入y=

1

2

x得，y=

1

2

×2=1，
∴A（2，1），
设反比例函数的解析式为y=

k

x

（k≠0），把A（2，1）代入得，
1=

k

2

，k=2，
∴反比例函数的解析式为y=

2

x

；（3分）

（2）由

y= 2 x y= 1 2 x

，
解得

x1=2 y1=1

，

x2=-2 y2=-1

，
所以点B的坐标为：（-2，-1）．（5分）
解法二：由对称性，A与B关于点O对称；
∵A（2，1），∴B（-2，-1）（5分）

（3）作BC⊥x轴，垂足为C，
∵B（-2，-1），∴OC=2，BC=1，
在Rt△OBC中，由勾股定理得，
OB=

OC2+BC2

=

12+22

=

5

．（6分）
分三种情况讨论：
①当OB=OP时，P₁（

5

，0），P₂（-

5

，0）；（8分）
②当OB=BP₃时，OP₃=2OC=4，∴P₃（-4，0）．（9分）
③作OB的垂直平分线交OB于D．
设P₄（x，0），则OP₄=BP₄=-x，CP₄=2+x，BC=1．
（2+x）²+1²=（-x）²，
x=-

5

4

∴p₄（-

5

4

，0），（11分）
综上所述，符合条件的P点坐标为：
P₁（

5

，0）、P₂（-

5

，0）、P₃（-4，0）、p₄（-

5

4

，0）．（12分）