试题

（2009·黄冈模拟）对口扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每个月最低的生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息），在甲提供的材料中有：①这种消费品的进价每件14元；②该店月销量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图；③每月需各种开支2000元．
（1）为使该店刚好能够维持职工生活，商品的价格应定为多少？
（2）当商品的价格每件多少元时，月利润和除职工最低生活费的余额最大并求出最大值．
（3）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？

解：（1）根据图象，当14≤P≤20时，
设Q=kP+b，把（14，22），（20，10）代入，得

14k+b=22 20k+b=10

，
解得

k=-2 b=50

，
则Q=-2P+50；
当20≤P≤26时，
设Q=mP+n，把（20，10），（26，1）代入，得

20m+n=10 26m+n=1

，
解得

m=-1.5 n=40

，
则Q=-1.5P+40，
即Q=

-2P+50(14≤P≤20) -1.5P+40(20＜P≤26)

，
若商品的价格应定为P元时，该店刚好能够维持职工生活，
则有100（P-14）Q=3600+2000，分两种情况：
第一种：当14≤P≤20时，即100（P-14）（-2P+50）=5600，解得P₁=18，P₂=21（不合题意，舍去）；
第二种：当20≤P≤26时，即100（P-14）（-1.5P+40）=5600，解得P₁=22，P₂=

56

3

（不合题意，舍去）．
答：为使该店刚好能够维持职工生活，商品的价格应定为18元或22元．

（2）设月利润和除职工最低生活费的余额为L，则L=100（P-14）Q-2000．分两种情况：
第一种：当14≤P≤20时，即L=100（P-14）（-2P+50）-3600=-200P²+7800P-72000，
则当P=

-7800

2×(-200)

=19.5时，L有最大值，
此时L=

4×(-200)×(-7200)-7800×7800

4×(-200)

-3600=4050-2000=4050；
第二种：当20≤P≤26时，即100（P-14）（-1.5P+40）-2000=-150P²+6100P-58000，
则当P=

-6100

2×(-150)

=

61

3

时，L有最大值，
此时L=

4×(-150)×(-58000)-6100×6100

4×(-150)

-3600=4016

2

3

-2000=2016

2

3

．
因为4050＞2016

2

3

，
所以当P=19.5元时，月利润最大，为4050元．

（3）设可在n年后脱贫，由题意有
12n（4050-3600）≥50000+58000，
解得n≥20，即最早在20年后脱贫．
解：（1）根据图象，当14≤P≤20时，
设Q=kP+b，把（14，22），（20，10）代入，得

14k+b=22 20k+b=10

，
解得

k=-2 b=50

，
则Q=-2P+50；
当20≤P≤26时，
设Q=mP+n，把（20，10），（26，1）代入，得

20m+n=10 26m+n=1

，
解得

m=-1.5 n=40

，
则Q=-1.5P+40，
即Q=

-2P+50(14≤P≤20) -1.5P+40(20＜P≤26)

，
若商品的价格应定为P元时，该店刚好能够维持职工生活，
则有100（P-14）Q=3600+2000，分两种情况：
第一种：当14≤P≤20时，即100（P-14）（-2P+50）=5600，解得P₁=18，P₂=21（不合题意，舍去）；
第二种：当20≤P≤26时，即100（P-14）（-1.5P+40）=5600，解得P₁=22，P₂=

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（不合题意，舍去）．
答：为使该店刚好能够维持职工生活，商品的价格应定为18元或22元．

（2）设月利润和除职工最低生活费的余额为L，则L=100（P-14）Q-2000．分两种情况：
第一种：当14≤P≤20时，即L=100（P-14）（-2P+50）-3600=-200P²+7800P-72000，
则当P=

-7800

2×(-200)

=19.5时，L有最大值，
此时L=

4×(-200)×(-7200)-7800×7800

4×(-200)

-3600=4050-2000=4050；
第二种：当20≤P≤26时，即100（P-14）（-1.5P+40）-2000=-150P²+6100P-58000，
则当P=

-6100

2×(-150)

=

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时，L有最大值，
此时L=

4×(-150)×(-58000)-6100×6100

4×(-150)

-3600=4016

2

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-2000=2016

2

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．
因为4050＞2016

2

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，
所以当P=19.5元时，月利润最大，为4050元．

（3）设可在n年后脱贫，由题意有
12n（4050-3600）≥50000+58000，
解得n≥20，即最早在20年后脱贫．