试题

题目：
锐角三角形ABC的三边长BC=a，CA=b，AB=c．a、b、c均为整数，且满足如下条件：a、b的最大公约数为2，a+b+c=
6ab
a+b
，则△ABC的周长为
6或35
6或35
．
答案
6或35

解：三角形中，有a+b＞c，
则
6ab
a+b
-（a+b）=
6ab-(a+b)2
a+b
＜a+b，
整理得：3ab＜（a+b）2＜6ab，
由于ab≤（
a+b
2
）2，
所以（a+b）2≥4ab，
假设（a+b）2=4ab，则a=b，
由于a，b的最大公约数为2，
所以a=b=2，
代入a+b+c=
6ab
a+b
，得c=2，符合题意．
则△ABC的周长=2+2+2=6．
当△ABC为非等边三角形，三边为10，14，11，满足a+b+c=
6ab
a+b
，则△ABC的周长=10+14+11=35．
故答案为：6或35．
考点梳理
约数与倍数；三角形三边关系．
由题目可知，c=
6ab
a+b
-（a+b）=
6ab-(a+b)2
a+b
，由于三角形中，有a+b＞c，则
6ab
a+b
-（a+b）=
6ab-(a+b)2
a+b
＜a+b，整理得：3ab＜（a+b）2＜6ab，由于ab≤（
a+b
2
）2，所以（a+b）2≥4ab，假设（a+b）2=4ab，则a=b，由于a，b的最大公约数为2，所以a=b=2，代入a+b+c=
6ab
a+b
，得c=2，符合题意．当△ABC为非等边三角形，三边为10，14，11，从而求出△ABC的周长．
考查了最大公约数与三角形三边关系，本题得到a=b，根据a，b的最大公约数为2，得到a=b=2是解题的关键，题目较难．
找相似题