试题

题目：
（2000·辽宁）已知：如图，△ABC内接于⊙O1，AB=AC．⊙O2与BC相切于点B，与AB相交于青果学院点E，与⊙O1相交于点D，直线AD交⊙O2于点F，交CB的延长线于点G．求证：
（1）EF∥CG；
（2）AB·EB=DE·AG．
答案
青果学院（1）证法一：连接BD．∵∠FEB=∠FDB，∠FDB=∠C．∴∠FEB=∠C．
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠FEB=∠ABC，∴EF∥CG．
证法二：
也可证出∠AGB=∠EFD（同位角），得出EF∥CG．

（2）证法一：
∵EF∥CG，∴∠DFE=∠G．又∵∠DBE=∠DFE，∴∠DBE=∠G，
即∠DBE=∠CGA．∵∠ABC=∠C，∠ABC=∠BDE，∴∠BDE=∠C，
即∠BDE=∠GCA．∴△BDE∽△GCA．
∴
EB
AG
=
DE
CA

∵AB=AC，
∴AB·EB=DE·AG．
证法二：连接BF．
可证△ADE∽△ABF，得
DE
BF
=
AE
AF
．
由EF∥CG，得
AB
AG
=
AE
AF
，从而可得
DE
BF
=
AB
AG

再证BE=BF，得AB·BE=DE·AG．
青果学院（1）证法一：连接BD．∵∠FEB=∠FDB，∠FDB=∠C．∴∠FEB=∠C．
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠FEB=∠ABC，∴EF∥CG．
证法二：
也可证出∠AGB=∠EFD（同位角），得出EF∥CG．

（2）证法一：
∵EF∥CG，∴∠DFE=∠G．又∵∠DBE=∠DFE，∴∠DBE=∠G，
即∠DBE=∠CGA．∵∠ABC=∠C，∠ABC=∠BDE，∴∠BDE=∠C，
即∠BDE=∠GCA．∴△BDE∽△GCA．
∴
EB
AG
=
DE
CA

∵AB=AC，
∴AB·EB=DE·AG．
证法二：连接BF．
可证△ADE∽△ABF，得
DE
BF
=
AE
AF
．
由EF∥CG，得
AB
AG
=
AE
AF
，从而可得
DE
BF
=
AB
AG

再证BE=BF，得AB·BE=DE·AG．
考点梳理
切线的性质；平行线的判定；相似三角形的判定与性质．
（1）根据同弧所对的圆周角相等，可得∠FEB=∠FDB，∠FDB=∠C，则∠FEB=∠C，由等边对等角得，∠ABC=∠C，则∠FEB=∠ABC，由平行线的判定得EF∥CG；
（2）连接BF．可证△ADE∽△ABF，得
DE
BF
=
AE
AF
，再由EF∥CG，得
AB
AG
=
AE
AF
，从而可得
DE
BF
=
AB
AG
，再证BE=BF，得AB·BE=DE·AG．
本题综合考查了切线的性质，相似三角形，解直角三角形等知识点的运用．此题是一个大综合题，难度较大．
证明题．
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