试题

如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别是BC、CD边上的动点，（E、F不与C重合）
①当EC=CF，且△AEF面积为2.5时，求EF的长和tan∠BAE．
②当EC=1时，设CF的长为x，y=S_△AEF，试求出y与x的函数关系式．（要求写出x的取值范围）

解：①设EC=CF=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=3，∠B=∠C=∠D=90°，
∴

1

2

x²=2.5，
∴x=

5

，
∴BE=3-

5

，
∴tan∠BAE=

3- 5

3

，
在Rt△CEF中，由勾股定理得
EF=

10

，
∴EF=

10

，tan∠BAE=

3- 5

3

；

②∵EC=1，
∴BE=2，
∴S_△ABE=

2×3

2

=3．
∵CF=x，
∴DF=3-x，
∴S_△CEF=

x

2

，S_△ADF=

3(3-x)

2

．
∵S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ABE-S_△CEF=
∴y=9-3-

x

2

-

3(3-x)

2

，
∴y=x+

3

2

（0＜x≤3）．
解：①设EC=CF=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=3，∠B=∠C=∠D=90°，
∴

1

2

x²=2.5，
∴x=

5

，
∴BE=3-

5

，
∴tan∠BAE=

3- 5

3

，
在Rt△CEF中，由勾股定理得
EF=

10

，
∴EF=

10

，tan∠BAE=

3- 5

3

；

②∵EC=1，
∴BE=2，
∴S_△ABE=

2×3

2

=3．
∵CF=x，
∴DF=3-x，
∴S_△CEF=

x

2

，S_△ADF=

3(3-x)

2

．
∵S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ABE-S_△CEF=
∴y=9-3-

x

2

-

3(3-x)

2

，
∴y=x+

3

2

（0＜x≤3）．