试题

题目：
青果学院（2011·安徽）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（　　）



答案
C
解：（1）当0＜x≤1时，如图，青果学院
在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；
∵MN⊥AC，∴MN∥BD；
∴△AMN∽△ABD，
∴
AP
AO
=
MN
BD
，
即，
x
1
=
MN
1
，MN=x；
∴y=
1
2
AP×MN=
1
2
x2（0＜x≤1），
∵
1
2
＞0，∴函数图象开口向上；
（2）当1＜x＜2，如图，
同理证得，△CDB∽△CNM，
CP
OC
=
MN
BD
，
即，
2-x
1
=
MN
1
，MN=2-x；青果学院
∴y=
1
2
AP×MN=
1
2
x×（2-x），
y=-
1
2
x2+x；
∵-
1
2
＜0，∴函数图象开口向下；
综上，答案C的图象大致符合；
故选C．
考点梳理
动点问题的函数图象．
△AMN的面积=
1
2
AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；
本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．
几何动点问题；压轴题；分类讨论．
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