试题

题目：
观察下列各式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，…
（1）请依据以上的式子填写下列各题：
①
1
8×9
=
1
8
-
1
9
1
8
-
1
9
；
②
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
．（n为正整数）
（2）根据上面各式所归纳的规律计算下题：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009
+
1
2009×2010
；
（3）拓展延伸：
如果a=1，b=3，计算下题：
1
ab
+
1
(a+1)(b+1)
+
1
(a+2)(b+2)
+…+
1
(a+98)(b+98)
．
答案
1
8
-
1
9

1
n
-
1
n+1

解：（1）①
1
8×9
=
1
8
-
1
9
；
②
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
；

 （2）
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2008×2009
+
1
2009×2010

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2009
-
1
2010

=1-
1
2010

=
2009
2010
；

（3）当a=1，b=3时，
1
ab
+
1
(a+1)(b+1)
+
1
(a+2)(b+2)
+…+
1
(a+98)(b+98)

=
1
1×3
+
1
2×4
+
1
3×5
+…+
1
99×101

=
1
2
×（1-
1
3
+
1
2
-
1
4
+
1
3
-
1
5
+…+
1
99
-
1
101
）
=
1
2
×（1+
1
2
-
1
100
-
1
101
）
=
1
2
×
14949
10100

=
14949
20200
．
故答案为：
1
8
-
1
9
；
1
n
-
1
n+1
．
考点梳理
有理数的混合运算．
（1）由于：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，…，利用题目规律即可求出结果；
（2）首先把题目利用（1）的结论变为：1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2009
-
1
2010
，然后利用有理数的加减混合运算法则计算即可求解；
（3）把a=1，b=3代入，得到原式=
1
1×3
+
1
2×4
+
1
3×5
+…+
1
99×101
，再变形为
1
2
×（1-
1
3
+
1
2
-
1
4
+
1
3
-
1
5
+…+
1
99
-
1
101
），然后利用有理数的混合运算法则计算即可求解．
此题主要考查了有理数的混合运算，解题时首先正确理解题目中隐含的规律，然后利用规律把题目变形，从而使计算变得比较简便．
规律型．
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