试题

如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1=120°，∠2=30°，|∠1-∠2|=90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）
（1）如图1，O为直线AB上一点，OC⊥AB于点O，OE⊥OD于点O，直接指出图中所有互为垂角的角；
（2）如果一个角的垂角等于这个角的补角的

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，求这个角的度数；
（3）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC=75°，将整个图形绕点O逆时针旋转n（0＜n＜90°），直线AB旋转到A′B′，OC旋转到OC′，作射线OP，使∠BOP=∠BOB′，求：当n为何值时，∠POA′与∠AOC′互为垂角．

解：（1）互为垂角的角有4对：∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC，∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE；

（2）设这个角的度数为x度，则
①当0＜x＜90时，它的垂角是90+x度，依题意有
90+x=

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（180-x），
解得x=18；
②当90＜x＜180时，它的垂角是x-90度，依题意有
x-90=

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（180-x），
解得x=126；
故这个角的度数为18或126度；

（3）当n=75时OC′和OA重合，分两种情况：
①当0＜n＜75时，∠COC′=n°，∠AOC′=75°-n°，
∠POB=∠BOB′=n°，
∠A′OP=180°-（∠POB+∠BOB′）=180°-2n°，
∵∠A′OP-∠AOC′=90°，
∴|（180-2n）-（75-n）|=90，
∵0＜n＜75，
∴n=15；
②当75＜n＜90时，∠AOC′=n°-75°，
∠POB=∠BOB′=n°，
∠A′OP=180°-（∠POB+∠BOB′）=180°-2n°，
∵∠A′OP-∠AOC′=90°，
∴|（180-2n）-（n-75）|=90，
解得n=55或115，
∵75＜n＜90，
∴n=55或115舍去．
综上所述；n=15时，∠POA′与∠AOC′互为垂角．
解：（1）互为垂角的角有4对：∠EOB与∠DOB，∠EOB与∠EOC，∠AOD与∠COD，∠AOD与∠AOE；

（2）设这个角的度数为x度，则
①当0＜x＜90时，它的垂角是90+x度，依题意有
90+x=

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（180-x），
解得x=18；
②当90＜x＜180时，它的垂角是x-90度，依题意有
x-90=

2

3

（180-x），
解得x=126；
故这个角的度数为18或126度；

（3）当n=75时OC′和OA重合，分两种情况：
①当0＜n＜75时，∠COC′=n°，∠AOC′=75°-n°，
∠POB=∠BOB′=n°，
∠A′OP=180°-（∠POB+∠BOB′）=180°-2n°，
∵∠A′OP-∠AOC′=90°，
∴|（180-2n）-（75-n）|=90，
∵0＜n＜75，
∴n=15；
②当75＜n＜90时，∠AOC′=n°-75°，
∠POB=∠BOB′=n°，
∠A′OP=180°-（∠POB+∠BOB′）=180°-2n°，
∵∠A′OP-∠AOC′=90°，
∴|（180-2n）-（n-75）|=90，
解得n=55或115，
∵75＜n＜90，
∴n=55或115舍去．
综上所述；n=15时，∠POA′与∠AOC′互为垂角．