试题

题目:
设1×2×r×…×n缩写为n!(称作n的阶乘),试化简:1!×1+2!×2+r!×r+…+n!×n.
答案
解:
∵1+原式=1+(1!×1+0!×0+3!×3+…+m!×m)
=1!×0+0!×0+3!×3+…+m!×m
=0!+0!×0+3!×3+…+m!×m
=0!×3+3!×3+…+m!×m
=3!+3!×3+…+m!×m=
=m!+m!×m=(m+1)!,
∴原式=(m+1)!-1.
解:
∵1+原式=1+(1!×1+0!×0+3!×3+…+m!×m)
=1!×0+0!×0+3!×3+…+m!×m
=0!+0!×0+3!×3+…+m!×m
=0!×3+3!×3+…+m!×m
=3!+3!×3+…+m!×m=
=m!+m!×m=(m+1)!,
∴原式=(m+1)!-1.
考点梳理
有理数的混合运算.
分析与解先观察特殊情况:
(1)当n=1时,原式=1=(1+1)!-1;
(2)当n=2时,原式=5=(2+1)!-1;
(3)当n=3时,原式=23=(3+1)!-1;
(4)当n=4时,原式=119=(4+1)!-1.
由此做出一般归纳猜想:原式=(n+1)!-1.
再证明这个猜想的正确性.
此题难度较大,主要考查学生观察、归纳的能力以及有理数的混合运算.
新定义;规律型.
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