试题

三角形ABC内部有1999个点，以顶点A，B，C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？

解：设△ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成a_n-1个小三角形，我们考虑新增加一个点P_n之后的情况：
（1）若点P_n在某个小三角形的内部，如图（a），则原小三角形的三个顶点连同P_n将这个小三角形一分为三，即增加了两个小三角形；
（2）若点P_n在某两个小三角形公共边上，如图（b）．则这两个小三角形的顶点连同点P_n将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角形．
所以，△ABC内部的n个点把原三角形分割成的小三角形个数为
a_n=a_n-1+2．
易知a₀=1，于是
a₁=a₀+2，a₂=a₁+2，a_n=a_n-1+2．
将上面这些式子相加，得
a_n=2n+1．
所以，当n=1999时，三个顶点A，B，C和这1999个内点能把原三角形分割成2×1999+1=3999个小三角形．

解：设△ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成a_n-1个小三角形，我们考虑新增加一个点P_n之后的情况：
（1）若点P_n在某个小三角形的内部，如图（a），则原小三角形的三个顶点连同P_n将这个小三角形一分为三，即增加了两个小三角形；
（2）若点P_n在某两个小三角形公共边上，如图（b）．则这两个小三角形的顶点连同点P_n将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角形．
所以，△ABC内部的n个点把原三角形分割成的小三角形个数为
a_n=a_n-1+2．
易知a₀=1，于是
a₁=a₀+2，a₂=a₁+2，a_n=a_n-1+2．
将上面这些式子相加，得
a_n=2n+1．
所以，当n=1999时，三个顶点A，B，C和这1999个内点能把原三角形分割成2×1999+1=3999个小三角形．