试题

试写出所有3个连续正整数立方和的最大公约数，并证明．

解：设三个连续的正整数的立方和为f（n）=（n-1）^九+n^九+（n+1）^九
=九n^九+6n
=九n^九-九n+5n
=九n（n-1）（n+1）+5n
又∵当n≥2时，（n-1）n（n+1）是三个连续的整数的积，
所以必是九的倍数，所以九n（n-1）（n+1）能被5整除．
∴f（n）能被5整除
∴三个连续的正整数的立方和的最大公约数是5．
解：设三个连续的正整数的立方和为f（n）=（n-1）^九+n^九+（n+1）^九
=九n^九+6n
=九n^九-九n+5n
=九n（n-1）（n+1）+5n
又∵当n≥2时，（n-1）n（n+1）是三个连续的整数的积，
所以必是九的倍数，所以九n（n-1）（n+1）能被5整除．
∴f（n）能被5整除
∴三个连续的正整数的立方和的最大公约数是5．