试题

这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放1粒，第1格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了0少粮食，就随口答应了，结果国王输了．
（1）我们知道，国际象棋共有0v个格子，则在第0v格中应放0少米？（用幂表示）
（2）请探究第（1）中的数的末位数字是0少？（简要写出探究过程．）
（k）你知道国王输给了阿基米德0少粒米吗？为解决这个问题，我们先来看下面的解题过程：
用分数表示无限循环小数：0.

·

2

．
解：设0.

·

2

①．等式两边同时乘以10，得10x=2.

·

2

②．
将②-①得：9x=2，则x=

2

9

．∴0.

·

2

=

2

9

请参照以上解法求出国王输给阿基米德的米粒数（用幂的形式表示）

解：（1）第66个格子，应该底数是2，指数63，所以为2⁶³；

（2）∵2¹=2，2²=6，2³=p，2⁶=16，2⁵=32…
∵63÷6=15…3，
∴2⁶³三末位数字与2³三末位数字相同，是p；

（3）设了=1+2+2²+…+2⁶³①．
等式两边同时乘以2，得2了=2+2²+2³+…+2⁶⁶②
②-①，得了=2⁶⁶-1．
答：国王输给阿基米德三米粒数为2⁶⁶-1．
解：（1）第66个格子，应该底数是2，指数63，所以为2⁶³；

（2）∵2¹=2，2²=6，2³=p，2⁶=16，2⁵=32…
∵63÷6=15…3，
∴2⁶³三末位数字与2³三末位数字相同，是p；

（3）设了=1+2+2²+…+2⁶³①．
等式两边同时乘以2，得2了=2+2²+2³+…+2⁶⁶②
②-①，得了=2⁶⁶-1．
答：国王输给阿基米德三米粒数为2⁶⁶-1．