试题

题目：
已知a+b=1，ab=-1，设S1=a+b，S2=a2+b2，S3=a3+b3，…，Sn=an+bn．
（1）计算S2、S3、S4的值；
（2）写出Sn-2、Sn-1、Sn三者之间的关系式；
（3）根据以上得出的结论，计算a7+b7的值．
答案
解：（1）∵S2=a2+b2=（a+b）2-2ab=3；
∵（a2+b2）（a+b）=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab（a+b），
∴3×1=a3+b3-1，
∴a3+b3=4，即S3=4，
∵S4=（a2+b2）2-2（ab）2=7，
∴S4=7；

（2）∵S2=3，S3=4，S4=7，
∴S2+S3=S4，
∴Sn-2+Sn-1=Sn；
（3）∵Sn-2+Sn-1=Sn，S2=3，S3=4，S4=7，
∴S5=4+7=11，
∴S6=7+11=18，
∴S7=11+18=29．
解：（1）∵S2=a2+b2=（a+b）2-2ab=3；
∵（a2+b2）（a+b）=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab（a+b），
∴3×1=a3+b3-1，
∴a3+b3=4，即S3=4，
∵S4=（a2+b2）2-2（ab）2=7，
∴S4=7；

（2）∵S2=3，S3=4，S4=7，
∴S2+S3=S4，
∴Sn-2+Sn-1=Sn；
（3）∵Sn-2+Sn-1=Sn，S2=3，S3=4，S4=7，
∴S5=4+7=11，
∴S6=7+11=18，
∴S7=11+18=29．
考点梳理
整式的混合运算；完全平方公式．
（1）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab的值，即可推出结论；
（2）根据（1）所推出的结论，即可推出Sn-2+Sn-1=Sn；
（3）根据（2）的结论，即可推出a7+b7=S7=S5+S6=3S4+2S3．
本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S2=3，S3=4，S4=7，分析归纳出规律：Sn-2+Sn-1=Sn．
规律型．
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