试题

题目：
已知a2+3a+1=0，求：①a+
1
a
，②a2+
1
a2
，③a4+
1
a4
．
答案
解：①∵a2+3a+1=0，
∴a≠0，
∴在等式的两边同时除以a，得
a+3+
1
a
=0，
∴a+
1
a
=-3；

②由①知，a+
1
a
=-3，则（a+
1
a
）2=a2+
1
a2
+2=9，
解得，a2+
1
a2
=7；

③由②知，a2+
1
a2
=7，则（a2+
1
a2
）2=a4+
1
a4
+2=49，
解得，a4+
1
a4
=47．
解：①∵a2+3a+1=0，
∴a≠0，
∴在等式的两边同时除以a，得
a+3+
1
a
=0，
∴a+
1
a
=-3；

②由①知，a+
1
a
=-3，则（a+
1
a
）2=a2+
1
a2
+2=9，
解得，a2+
1
a2
=7；

③由②知，a2+
1
a2
=7，则（a2+
1
a2
）2=a4+
1
a4
+2=49，
解得，a4+
1
a4
=47．
考点梳理
完全平方公式．
①在等式是两边同时除以不等于零的a来求代数式的值；
②通过求①的代数式的平方来求a2+
1
a2
的值；
③通过求②的代数式的平方来求a4+
1
a4
的值．
本题考查了完全平方公式．找出①、②、③三个代数式间的关系是解题的关键．
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