试题

如图，点0₂是⊙0₁上一点，⊙0₁与⊙0₂相交于A、D两点，BC⊥AD，垂足为D，分别交⊙0₁与⊙O₂于B、C两点，延长D0₂交⊙0₂于E，交BA延长线于F，B0₂交AD于G，连接AC．
（1）求证：∠BGD=∠C；
（2）如果∠D0₂C=45°，求证：AD=AF；
（3）如果BF=6CD，且线段BD、BF的长是关于x的方程x²-（4m+2）x+4m²+8=0的两个实数根，求cos∠ABD的值．

（1）证明：∵BC⊥AD于D，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
∴AB、AC分别为⊙O₁、⊙O₂的直径，
∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°，
∴∠BGD=∠C；

（2）证明：∵∠DO₂C=45°，
∴∠ABD=45°，
∵O₂D=O₂C，
∴∠C=∠O₂DC=12（180-∠DO₂C）=67.5°，
∴∠4=22.5°，
∵∠O₂DC=∠ABD+∠F，
∴∠F=∠4=22.5°，
∴AD=AF；

（3）解：∵BF=6CD，
∴设CD=k，则BF=6k，
连接AE，则AE⊥AD，
∴AE∥BC，
∴

AE

BD

=

AF

BF

，
∴AE·BF=BD·AF，
又∵在△AO₂E和△DO₂C中，AO=DO₂，∠AOE=∠DOC，O₂E=O₂C，
∴△AO₂E≌△DO₂C，
∴AE=CD=k，
∴6k²=BD·AF=（BC-CD）（BF-AB），
∵∠BO₂A=90°，O₂A=O₂C，
∴BC=AB，
∴6k²=（BC-k）（6k-BC），
∴BC²-7kBC+12k²=0，
解得：BC=3k，或BC=4k，
当BC=3k时，BD=2k，
∵BD、BF的长是关于x的方程x²-（4m+2）x+4m²+8=0的两个实数根，
∴由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2，BD·BF=12k²=4m²+8，
整理，得：4m²-12m+29=0，
∵△=（-12）²-4×4×29=-320＜0，此方程无实数根，
∴BC=3k舍去，
当BC=4k时，BD=3k，
∴3k+6k=4m+218k²=4m²+8，
整理，得：m²-8m+16=0，解得：m₁=m₂=4，
∴原方程可化为x²-18x+72=0，
解得：x₁=6，x₂=12，
∴BD=6，BF=12．
∴CD=2，∵AF=AD，
∴设AF=AD=x，
∴BF-x=AB，
∴AB²=AD²+BD²，
∴（12-x）²=x²+36，
解得：x=4.5，
∴AB=12-4.5=7.5，
cos∠ABD=

BD

AB

=

6

7.5

=

4

5

．
（1）证明：∵BC⊥AD于D，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
∴AB、AC分别为⊙O₁、⊙O₂的直径，
∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°，
∴∠BGD=∠C；

（2）证明：∵∠DO₂C=45°，
∴∠ABD=45°，
∵O₂D=O₂C，
∴∠C=∠O₂DC=12（180-∠DO₂C）=67.5°，
∴∠4=22.5°，
∵∠O₂DC=∠ABD+∠F，
∴∠F=∠4=22.5°，
∴AD=AF；

（3）解：∵BF=6CD，
∴设CD=k，则BF=6k，
连接AE，则AE⊥AD，
∴AE∥BC，
∴

AE

BD

=

AF

BF

，
∴AE·BF=BD·AF，
又∵在△AO₂E和△DO₂C中，AO=DO₂，∠AOE=∠DOC，O₂E=O₂C，
∴△AO₂E≌△DO₂C，
∴AE=CD=k，
∴6k²=BD·AF=（BC-CD）（BF-AB），
∵∠BO₂A=90°，O₂A=O₂C，
∴BC=AB，
∴6k²=（BC-k）（6k-BC），
∴BC²-7kBC+12k²=0，
解得：BC=3k，或BC=4k，
当BC=3k时，BD=2k，
∵BD、BF的长是关于x的方程x²-（4m+2）x+4m²+8=0的两个实数根，
∴由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2，BD·BF=12k²=4m²+8，
整理，得：4m²-12m+29=0，
∵△=（-12）²-4×4×29=-320＜0，此方程无实数根，
∴BC=3k舍去，
当BC=4k时，BD=3k，
∴3k+6k=4m+218k²=4m²+8，
整理，得：m²-8m+16=0，解得：m₁=m₂=4，
∴原方程可化为x²-18x+72=0，
解得：x₁=6，x₂=12，
∴BD=6，BF=12．
∴CD=2，∵AF=AD，
∴设AF=AD=x，
∴BF-x=AB，
∴AB²=AD²+BD²，
∴（12-x）²=x²+36，
解得：x=4.5，
∴AB=12-4.5=7.5，
cos∠ABD=

BD

AB

=

6

7.5

=

4

5

．